任何周期函數都可以表示為不同頻率的正弦和/或余弦之和的形式，每個正弦項和/或余弦項乘以不同的系數（現在稱該和為傅里葉級數）。無論函數多么復雜，只要它是周期的，並且滿足某些適度的數學條
件，都可以用這樣的和來表示。即一個復雜的函數可以表示為簡單的正弦和余弦之和。甚至非周期函數（單該曲線下的面積是有限的）也可以用正弦和/或許·余弦乘以加權函數的積分來表示。在這種情況下的公式
就是傅里葉變換。傅里葉變換是一種分析信號的方法，它可分析信號的成分，也可用這些成分合成信號。許多波形可作為信號的成分，比如正弦波、方波、鋸齒波等，傅里葉變換用正弦波作為信號的成分。
傅里葉變換在很多方面均有應用，這里主要介紹一下傅里葉變換和在圖像增強中的應用。
時域與頻域
（1）頻域（frequency domain）是指在對函數或信號進行分析時，分析其和頻率有關部份，而不是和時間有關的部分，和時域一詞相對。
（2）時域是描述數學函數或物理信號對時間的關系。例如一個信號的時域波形可以表達信號隨着時間的變化。若考慮離散時間，時域中的函數或信號，在各個離散時間點的數值均為已知。
若考慮連續時間，則函數或信號在任意時間的數值均為已知。在研究時域的信號時，常會用示波器將信號轉換為其時域的波形。
（3）兩者相互間的變換
時域（信號對時間的函數）和頻域（信號對頻率的函數）的變換在數學上是通過積分變換實現。對周期信號可以直接使用傅立葉變換，對非周期信號則要進行周期擴展，使用拉普拉斯變換。
周期信號的傅里葉級數表示
連續時間非周期信號的傅里葉變換
一維離散信號傅里葉變換及傅里葉反變換
將一維離散信號傅里葉變換推廣到二維傅里葉變換
將傅里葉變換表示成復數形式
我們將一幅圖像進行傅里葉變換后，結果如下：
快速傅里葉變換（FFT）
計算離散傅里葉變換的一種快速算法，簡稱FFT。函數或信號可以透過一對數學的運算子在時域及頻域之間轉換。快速傅里葉變換是1965年由J.W.庫利和T.W.圖基提出的。采用這種算法能使計算機計算離散
傅里葉變換所需要的乘法次數大為減少，特別是被變換的抽樣點數N越多，FFT算法計算量的節省就越顯著。
人們想讓計算機能處理信號，但由於信號都是連續的、無限的，計算機不能處理，於是就有了傅里葉級數、傅里葉變換，將信號由時域變到頻域，把一個信號變為有很多個不同頻率不同幅度的正弦信號組
成，這樣計算機就能處理了，但又由於傅里葉變換中要用到卷積計算，計算量很大，計算機也算不過來，於是就有了快速傅里葉變換，大大降低了運算量，使得讓計算機處理信號成為可能。快速傅里葉變換是傅
里葉變換的快速算法而已，主要是能減少運算量和存儲開銷，對於硬件實現特別有利。
圖像中傅里葉變換的意義
圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區域，對應的頻率值很低；而對於地表屬性變換劇烈的邊緣區域在圖像是
一片灰度變化劇烈的區域，對應的頻率值較高。傅立葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設 ff 是一個能量有限的模擬信號，則其傅立葉變換就表示 ff 的譜。當圖像使用空間域等手段並不能取得良好的圖像增
強效果的時候，這時候可以考慮使用傅里葉變換的方法，即將圖像先進行傅里葉變換轉換為頻域系統，然后經過處理（一般是設計一個低通或者高通濾波器，這里就涉及到頻域濾波的種類了，這里先不贅述），
再轉換為空間域圖像。會取得良好的效果。從純粹的數學意義上看，傅立葉變換是將一個函數轉換為一系列周期函數來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將圖像從
頻率域轉換到空間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數變換為圖像的頻率分布函數，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數變換為灰度分布函數。
實際上對圖像進行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當然頻譜圖上的各點與圖像上各點並不存在一一對應的關系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一
的亮點，實際上圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小（可以這么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮
度弱。我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點數更多，那么實際圖像是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小），反之，如果頻譜圖中亮的點數多，那么實際圖像一定是
尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對頻譜移頻到原點以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點為圓心，對稱分布的。
關於圖像梯度，可以看這篇博客【圖像梯度的基本原理】