圖像處理-傅里葉變換的理解

大部分復制參考鏈接: 

http://blog.csdn.net/kofsky/article/details/2955823

 

1.實質：傅里葉變換就是將一個時域信號映射到頻域的一種方法。

 

有的信號主要在時域表現其特性，如 電容充放電的過程；

而有的信號則主要在頻域表現其特性，如 機械的振動，人類的語音等。

若信號的特征主要在頻域表示的話，則相應的時域信號看起來可能雜亂無章，但在頻域則解讀非常方便。所以需采取傅里葉變換進行分析。 

 

岡薩雷斯版<圖像處理>里面的解釋非常形象：一個恰當的比喻是將傅里葉變換比作一個玻璃棱鏡。棱鏡是可以將光分解為不同顏色的物理儀器，每個成分的顏色由頻率（或波長）來決定。傅里葉變換可以看作是數學上的棱鏡，將函數基於頻率分解為不同的成分。當我們考慮光時,討論它的光譜或頻率譜。同樣,傅立葉變換使我們能通過頻率成分來分析一個函數。

 

2.要點：在頻域中，頻率越大說明原始信號變化速度越快；頻率越小說明原始信號越平緩。當頻率為0時，表示直流信號，沒有變化。因此，頻率的大小反應了信號的變化快慢。高頻分量解釋信號的突變部分，而低頻分量決定信號的整體形象。-------------因此濾波是傅里葉變換的主要應用。

 

在圖像處理中，頻域反應了圖像在空域灰度變化劇烈程度，也就是圖像灰度的變化速度，也就是圖像的梯度大小。對圖像而言，圖像的邊緣部分是突變部分，變化較快，因此反應在頻域上是高頻分量；圖像的噪聲大部分情況下是高頻部分；圖像平緩變化部分則為低頻分量。也就是說，傅立葉變換提供另外一個角度來觀察圖像，可以將圖像從灰度分布轉化到頻率分布上來觀察圖像的特征。書面一點說就是，傅里葉變換提供了一條從空域到頻率自由轉換的途徑。

對圖像處理而言，以下概念非常的重要：

 

圖像高頻分量：圖像突變部分；在某些情況下指圖像邊緣信息，某些情況下指噪聲，更多是兩者的混合；
低頻分量：圖像變化平緩的部分，也就是圖像輪廓信息
高通濾波器：讓圖像使低頻分量抑制，高頻分量通過
低通濾波器：與高通相反，讓圖像使高頻分量抑制，低頻分量通過
帶通濾波器：使圖像在某一部分的頻率信息通過，其他過低或過高都抑制
還有個帶阻濾波器，是帶通的反的。

 

3.應用：

 

位移不變形：位移后的圖像的傅里葉變換幅度與原圖像相同---------攝像機或對象上下移動，傅里葉變換幅度不變，我們不需要精確控制攝像頭和目標位置。

 

頻率特性：f(at)進行傅里葉變換得到 1/a*F(w/a)----------縮小圖像尺寸，比如遠距離成像，頻率分量會成線性變化。

 

疊加（線性）：f(t1)+f(t2)的傅里葉變換為F(w1)+F(w2)----------利用頻域分量分離圖像，以布料染上血指紋為例。

 

卷積定理：時域卷積等價與頻域乘積----------在時域內做模板運算，實際上就是對圖像進行卷積。因此，在時域內對圖像做模板運算就等效於在頻域內對圖像                                                          做濾波處理。比如說一個均值模板，其頻域響應為一個低通濾波器；在時域內對圖像作均值濾波就等效於在頻域內對圖                                                            像用均值模板的頻域響應對圖像的頻域響應作一個低通濾波。

 

圖像去噪就是壓制圖像的噪音部分。因此，如果噪音是高頻額，從頻域的角度來看，就是需要用一個低通濾波器對圖像進行處理。通過低通濾波器可以抑制圖像的高頻分量。但是這種情況下常常會造成邊緣信息的抑制。常見的去噪模板有均值模板，高斯模板等。這兩種濾波器都是在局部區域抑制圖像的高頻分量，模糊圖像邊緣的同時也抑制了噪聲。還有一種非線性濾波-中值濾波器。中值濾波器對脈沖型噪聲有很好的去掉。因為脈沖點都是突變的點，排序以后輸出中值，那么那些最大點和最小點就可以去掉了。中值濾波對高斯噪音效果較差。

椒鹽噪聲：對於椒鹽采用中值濾波可以很好的去除。用均值也可以取得一定的效果，但是會引起邊緣的模糊。
高斯白噪聲：白噪音在整個頻域的都有分布，好像比較困難。
岡薩雷斯版圖像處理P185：算術均值濾波器和幾何均值濾波器（尤其是后者）更適合於處理高斯或者均勻的隨機噪聲。諧波均值濾波器更適合於處理脈沖噪聲。

 

有時候感覺圖像增強與圖像去噪是一對矛盾的過程，圖像增強經常是需要增強圖像的邊緣，以獲得更好的顯示效果，這就需要增加圖像的高頻分量。而圖像去噪是為了消除圖像的噪音，也就是需要抑制高頻分量。有時候這兩個又是指類似的事情。比如說，消除噪音的同時圖像的顯示效果顯著的提升了，那么，這時候就是同樣的意思了。
常見的圖像增強方法有對比度拉伸，直方圖均衡化，圖像銳化等。前面兩個是在空域進行基於像素點的變換，后面一個是在頻域處理。我理解的銳化就是直接在圖像上加上圖像高通濾波后的分量，也就是圖像的邊緣效果。對比度拉伸和直方圖均衡化都是為了提高圖像的對比度，也就是使圖像看起來差異更明顯一些，我想，經過這樣的處理以后，圖像也應該增強了圖像的高頻分量，使得圖像的細節上差異更大。同時也引入了一些噪音