數字圖像處理之傅里葉變換
by方陽
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1. 前言
今天將之前學的數字圖像處理的東西放到博客園里，所以下面會有連續幾篇的博客都是關於數字圖像處理的！
這篇博客將介紹圖像的快速傅里葉變換，逆變換以及圖像的平移變換的實現，理論的知識還請看書和百度，這里不再復述。
2. 原理說明
（1） 圖像的二維FFT變換可以觀察圖像的頻譜，再進行逆變換即可復原圖像；
（2） 圖像的平移性：圖像在空間域乘以-1^(x+y),再進行傅里葉變換，即可看出圖像的頻譜圖在x和y周平移了半個周期，原因是-1^(x+y)傅里葉變換表現復指數函數，相當於頻譜的平移；
3. 實現內容
（1） 選擇一幅圖像，顯示傅里葉變換頻譜。再對得到傅里葉圖像做傅里葉逆變換，顯示圖像，觀察是否與原圖像相同。
（2） 圖像做傅里葉變換的平移性證明，將頻譜中心移至中央。
4. 程序實現及實驗結果
(1) 圖像的傅里葉變換與反變換
參考代碼：
I=imread('lena.bmp');
I_2D=D3_To_D2(I);
I1=fft2(I_2D);
I2=uint8(real(ifft2(I1)));
I1=log(1+abs(fftshift(I1)));
figure;
subplot(1,3,1);
imshow(I);
title('原圖');
subplot(1,3,2);
imshow(I1,[]);
title('fft2后的頻譜');
subplot(1,3,3);
imshow(I2,[]);
title('ifft2后的復原圖像');
D3_To_D2函數（將三維降二維）參考代碼：
function image_out=D3_To_D2(image_in)
[m,n]=size(image_in);
n=n/3;%由於我的灰度圖像是185x194x3的，所以除了3，你們如果是PxQ的，就不要加了
A=zeros(m,n);%構造矩陣
for i=1:m
for j=1:n
A(i,j)= image_in(i,j);%填充圖像到A
end
end
image_out=uint8(A);
運行結果：
（2）平移驗證
參考代碼：
f(1000,1000)=0;
f=mat2gray(f);
[Y,X]=meshgrid(1:1000,1:1000);
f(350:649,475:524)=1;
f2=f.*(-1).^(X+Y);
f1=fft2(f);
f1_1=abs(f1);
f2=fft2(f2);
f3=log(1+abs(f2));
figure;
subplot(2,2,1);
imshow(f);
title('原圖');
subplot(2,2,2);
imshow(f1_1,[]);
title('fft2后的頻譜');
subplot(2,2,3);
imshow(abs(f2),[]);
title('中心化');
subplot(2,2,4);
imshow(f3,[]);
title('對數化');
運行結果：
（3）相角復原（新添的）
參考代碼:
I=imread('boy.jpg');
I=D3_To_D2(I);
I=fft2(I);
I_angle=angle(I);
I4=exp(1i*I_angle);
I4=uint8(ifft2(I4)*256);
I5=ifft2(I);
figure;
subplot(2,2,1);
imshow(I_angle);
title('相角');
subplot(2,2,2);
imshow(I4,[]);
title('相角復原后的圖像');
subplot(2,2,3);
imshow(I5,[]);
title('譜復原后的圖像');
運行結果：
五． 結果分析
1.由第一個圖可以看出，圖像經過傅里葉變換再經過傅里葉反變換是可以還原出原圖像的。
2.由第二個圖可以看出，圖像的平移性對觀察圖像的傅里葉頻譜很有幫助，圖像的頻譜經過平移，低頻聚集在中心，易於觀察，對頻譜進行對數化可以更加直觀看圖像的頻譜分布。
3.由第三個圖可以看出，相角決定圖像的細節。