一、引入
空間域方法：對像素操作的過程->對圖像像素直接處理。
空間域處理可由該式定義： \(g(x,y)=T[f(x,y)]\)
其中，f(x,y)為原圖像，g(x,y)為處理后的圖像，T為定義在x,y的鄰域（不一定是4/8/m鄰域，可能是更大的范圍，如3x3，5x5的mask,et al）內的一個操作（也叫做算子）。
最小鄰域的大小為1x1，在這種情況下，g(x,y)僅取決於對應的f(x,y)值，上式可變換為一個形如下式的灰度（級）變換函數/灰度映射函數： \(s=T(r)\) 其中，r和s分別為g和f在(x,y)的灰度。
當處理原點位於圖像邊界時，部分鄰域將位於圖像外部，此時要么忽略外部鄰點，要么用0填充灰度圖像邊緣，被填充邊界的厚度取決於鄰域的大小。
二、基本灰度變換
由於曝光不足/成像設備的非線性/圖像記錄設備動態范圍太窄等因素，會產生對比度不足的弊病，使圖像細節難以分辨，可以使用灰度變換解決這些問題。灰度變換的實質是鄰域的1x1的圖像變換（點運算）。
線性灰度變換
1.加減常數（等價於提高/降低亮度）
\(g(x,y)=f(x,y) \pm C\)
作用：壓縮動態范圍，降低對比度。
以下是一個例子：
圖像反轉
圖像反轉是線性變換-加減常數中的一個簡單變換。
在matlab中可以使用b=imcomplement(a)來反轉圖像。
\(如果灰度為256級（0-255），可以寫作g(x,y)=255-f(x,y)\)
\(更一般地，可以寫作s=L-1-r或者g(x,y)=L-1-f(x,y)，其中L-1為灰度最大級\)
變換函數如下：
效果如下：
2.乘常數
\(g(x,y)=C \times f(x,y)\)
作用：改變動態范圍
一些examples：
線性灰度變換的一般表達式：
分段線性函數
可以將感興趣的灰度范圍線性拓展，相對抑制不感興趣的灰度區域。
- 對比度拉伸
對比拉伸是最簡單的分段線性函數，對比拉伸的思想是提高圖像處理是灰度級動態范圍。（低對比度->高對比度）
一個極端的例子是二值變換，超過therhold輸出1，否則0.
- 灰度切割/灰度窗口變換
def：提高圖像中特定灰度范圍的亮度的方法。
方法1：將所關心范圍內灰度設定為較高值，其他灰度值設為較低值。
方法2：使所需范圍的灰度變量，而保持其他區域的灰度色調。
- 位圖切割
def：對特定位提高亮度。
假設每個像素位深度為8（0-255），可以將每位對應的圖像平面分離出來
感覺就是以對應位的1來做閾值得到每一位閾值對應的新圖像。
對數變換
\(s=c \times \log(1+r)\)
其中c為一個常數，並假如r≥0，擴大了窄帶低灰度輸入圖像的輸出范圍，可以用這種變換來拓展被壓縮的高值圖像中的暗像素。壓縮動態范圍
需要對新圖像灰度級重新標定/量化，使用：
Gamma變換/冪次變換
\(s=c\times r^\gamma\)
\(\gamma小於1和大於1的值的曲線會產生相反的效果\)
小於1時拉伸原圖像低灰度值部分到更寬的范圍
大於1時拉伸原圖像高灰度值部分到更寬的范圍
\(冪次變換也叫\gamma校正，用來校正監視器顯示的非線性特點。\)
對比度拉伸變換
對比度變換是一種通過改變圖像像元的亮度值來改變圖像像元的對比度，從而改善圖像質量的圖像處理方法。因為亮度值是輻射強度的反應，所以也稱為輻射增強。
原理：將圖像中過於集中的像元分布區域（亮度值分布范圍）拉開擴展，擴大圖像反差的對比度，增強圖像表現的層次性。達到增強反差的目的，主要通過調整直方圖來實現。
函數圖像類似於下圖，其中r為輸入圖像的亮度，s為輸出圖像亮度，斜率由參數E控制，中點由參數m控制：
三、直方圖處理
圖像的灰度直方圖是最簡單最有用的工具之一。
直方圖：表示數字圖像中每一灰度級像素出現的頻次。（該灰度級的像素數目）
可表示為： \(p(k)=n_k\) \(n_k\) 是圖像中第k個灰度級的像素總數
或 \(p(r_k)=n_k/n\) n是圖像的像素總數。（概率密度表示）
灰度直方圖的性質：
- 無空間信息
- 直方圖與圖像一對多關系
- 可疊加性（整幅圖像的直方圖可由子圖像的直方圖疊加得到）
以上圖為例，圖像中間灰度及像素多，動態范圍小，圖像對比度低。
高灰度的像素占了絕大部分，圖像偏亮。
過低、過高灰度級的像素占了絕大部分，對比度過大，類似於二值圖像。
直方圖反映了圖像的清晰程度，直方圖均勻分布時，圖像最清晰。（判斷一幅圖像是否清晰->是否充分利用了盡可能多的灰度等級）
直方圖均衡
直方圖修正：通過灰度映射函數T將原灰度直方圖轉化為希望得到的直方圖。
直方圖均衡與直方圖規定化（匹配）的區別在於一個得到灰度較為均衡的圖像一個得到與規定直方圖灰度近似的圖像。
\(G_{new}=T(G_{old})\)
直方圖均衡是最常用的直方圖修正，即將給定圖像的直方圖改造成均勻直方圖分布。
均勻化后，圖像直方圖是平直的，即各個灰度級具有相同的出現頻數，或各灰度級具有均勻的概率分布，得到更清晰的圖像（圖像增強）
直方圖均衡化灰度映射函數
連續灰度級情況
\(P(r):概率密度函數，0（黑）≤r≤1（白），代表灰度級\)
找到一種變換函數 \(s=T(r)\)，使直方圖變平直。
為使變換后的灰度仍保持從黑到白的單一變化順序，且變換范圍與原先一致，以避免整體變亮或變暗。
規定：
1.\(在0≤r≤1(L-1)中，T(r)是單調遞增函數，且0≤T(r)≤1，保證灰度變換前后不倒置。\)
2.\(反變換r=T^{-1}(s),T^{-1}為單調遞增函數（不知道怎么來的），0≤s≤1(L-1)。保證變換后灰度值仍在變換前允許的灰度級范圍內。\)
可以看到r較小時變換函數斜率也小，較大一段才能轉換為灰度范圍較小的灰度，而中間一段斜率很大，微小的一段也能轉換為較大灰度范圍內的值（分布）（非線性變換，與圖內情況匹配）
對於變換函數:
其中右側是r的累計分布函數，將其代入
可得到
即s的概率密度分布是均勻分布的（如果s的上限為1則密度為1）
數字圖像（離散）的直方圖均衡
設一幅數字圖像的像素總數為n,分為L個灰度級。
第k個灰度級出現的概率：
\(p_r(r_k)=n_k/n,其中n_k為第k個灰度級的頻數，r_k為原圖像第k灰度級的值。可歸一化為0~1。n為像素總數。k=0,1，...，L-1.L為可能的灰度級數量。\)
對應變換的離散形式為：
這里L-1是因為上限值為L-1，歸一化后可寫為1.
根據概率密度函數乘L-1（最大灰度級）后向下取整得到的灰度值歸類。
性質：
- 與連續形式不同，一般不能證明離散變換能產生均勻概率密度函數的離散值。（事實上大多數時候都不能）
- 直方圖均衡化具有完全自動化的特點。
- 結果圖像的灰度級與原圖像一致。
直方圖匹配
某些應用使用直方圖均衡進行基本增強的方案不合適，如下：
通過規定輸出直方圖的灰度分布，可以得到相較令人滿意的結果。
\(設從r->z映射，計算每個r_j對應的s_j=T(r);計算每個z_j對應的v_j=G(z)；對每一個s_j尋找最接近的v_k，該v_k對應的z_k就是r_j應該映射為的灰度值。最后得到的灰度直方圖與規定的直方圖類似（很好理解，離散情況下肯定是近似）。\)
湊就嗯湊
局部處理
1.應用直方圖進行局部增強
局部直方圖均衡：對mask里的所有像素求直方圖均衡
直方圖統計
\(令r表示在[0,L-1]上代表離散灰度的離散隨機變量，令p(r_i)代表對應r的第i個值的歸一化直方圖分量，可以把p(r_i)看作灰度級r_i出現的概率估計值。\)r的平均值為\(m=\sum_{i=0}^{L-1}r_ip(r_i)\)
r的方差（二階矩,對比度的衡量）為：
\(\mu_2(r)=\sum_{i=0}^{L-1}(r_i-m)^2p(r_i)=\sigma^2(r)\)
局部均值(平均灰度值）/方差（對鄰域對比度的衡量）：
\(m_{s_{xy}}=\sum_{i=0}^{L-1}r_ip_{s_{xy}}(r_i)\)
\(\sigma^2_{s_{xy}}=\sum_{i=0}^{L-1}(r_i-m_{s_{xy}})^2p_{s_{xy}}(r_i)\)
四、空域濾波
基本原理
對待處理圖像逐點移動掩模。簡單來說就是在mask的鄰域中對實際像素值乘模板值再求和。
線性濾波與卷積類似，因此mask也稱為卷積模板/卷積核。
對n*n的mask，當掩模中心與圖像邊緣小於等於(n-1)/2個像素時，就會有圖像之外的值。處理方法如下：
1.不對邊上(n-1)/2個像素操作，結果會得到比原圖像小的圖，可以將未處理的圖像的邊緣像素復制到結果圖像，再對邊緣的像素帶使用部分濾波掩模處理。
2.對邊界的(n-1)/2行和列補上灰度為0的像素。（黑邊）或者將邊緣復制補在圖像之外。
平滑濾波器
平滑濾波器用於模糊處理/減小噪聲。經常用於預處理。
平滑線性濾波器
平滑線性濾波器的響應是在mask鄰域內像素的加權平均值。因此，也被稱為均值濾波器。
由於圖像邊緣是由圖像灰度尖銳變化帶來的特性，所以均值濾波處理會帶來邊緣模糊。
統計排序濾波器
統計濾波器是一種非線性的空間濾波器，響應基於濾波器包圍的圖像區域中像素的派速，然后由統計排序結果決定的值替代中心像素值。常見的例子是中值濾波器
中值濾波器是將像素鄰域內灰度的中值（中位數）代替該像素的值。
比小尺寸的線性平滑濾波器的模糊程度明顯要低。
銳化濾波器
銳化處理的目的是為了突出圖像的細節或增強被模糊的細節。
銳化處理可以通過空間微分來完成。微分算子的響應強度與圖像在該點的突變程度有關，增強了邊緣和其他突變（噪聲）並削弱了灰度變化緩慢的區域。
用差分定義二階微分：
其中
1.在平坦區域微分為0
2.在斜坡的起始點微分非零
3.沿着斜坡面的微分值為0
首先定義一個二階微分的離散公式，然后構造一個基於此式的濾波器，需要各向同性濾波器，這種濾波器的響應與濾波器作用的圖像的突變方向無關。（對各方向都檢測？）
基於二階微分的圖像增強————Laplace算子
連續上的定義：
在x方向上的二階偏微分如下：
對y同理。
二者相加得到二階拉普拉斯算子：
二階拉普拉斯算子的四種形式：
左一：直接推導的模板（以90°旋轉的各向同性）
右一：增加了對角線方向
左二及右二：上邊兩個的變形。
基於一階微分的圖像增強————梯度法
梯度的定義：
梯度的模由下式給出：
梯度向量本身是線性算子，但它的模用到了平方和開方運算。一般將梯度的模稱為梯度算子。
常常用絕對值代替平方/開方近似求梯度的模。
將模板中心看作f(x,y)對x和y求微分。
Robert算子
提出新的定義計算微分：
對應的算法和mask形式為：
偶數尺寸的mask並不好用，為了得到3x3最小濾波器mask，對上式的近似為：
mask形式為：
混合空間增強
使用多種互補的圖像增強技術，一個例子：
