淺談多重集排列組合
本篇隨筆簡單講解一下數學中的多重集排列組合。
一、多重集概念
集合的概念是唯一性。
多重集的特點就是不唯一性。
也就是同一種元素可以在多重集里面多次出現。
也就是multiset。
二、多重集排列數
假設多重集一共有\(N\)個元素。那么對這\(N\)個元素全排列，除掉相同元素的全排列的積即可。
也就是：
\[A=\frac{N!}{n_1!n_2!\cdots n_k!} \]
很顯然，先把所有可能，也就是全排列處理出來，然后相同元素可以隨意互換位置，按乘法原理除下去就行。
三、多重集組合數
多重集組合數這里比較難想。好好理解。
如果正着想，反正蒟蒻智商沒有太通。
不妨反着來：對於有\(N\)種元素的多重集\(S\)，選\(K\)個元素，注意是個不是種，的可行方案數。可以變成：現在有\(N\)個籃子，把\(K\)個元素扔進這些籃子里的方案數。
注意，這種是特殊情況，也就是說，每種元素無限多個可供挑選。
這樣的話，用隔板法解決問題。
容易得出，答案也就是\(C_{N+K-1}^{N-1}\)。
解釋一下，現在有\(K\)個元素，分成\(N\)堆，也就是要往里插入\(N-1\)塊板。按理講應該是\(C_{K+1}^{N-1}\)，但是因為允許有空集，也就是不插，那么就相當於每塊板子插進去之后又產生了新元素，所以是這個答案。
那么，根據多重集的限制，現在每種元素有一個數量上限，怎么辦呢？
很簡單，采用容斥原理。關於容斥原理，請見：
上限是“至多放\(f[i]\)個”，那么如果我往這個里面放\(f[i]+1\)個，是不是就不合法了？
把不合法的減去即可。
式子就不寫了，大家知道這么回事就行。
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