通俗易懂理解指數分布

本文轉載自查看原文 2020-11-09 23:42 1229 3_數學（概率論等）/ 概率論

通俗易懂理解指數分布

一、總結

一句話總結：

賣包子的時間間隔符合指數分布

本例中指數分布的意義：如果知道這個時間間隔，老板也好調整自己的服務員人數（時間間隔短，那么需要的服務人員就多，反之需要的就少），優化成本結構。

1、當λ較小的時候，比如說λ=1吧，也就是說一天只賣出一個饅頭，那么饅頭賣出間隔時間大於1的可能性就很大（下圖是指數分布的概率密度函數的圖像，對應的概率是曲線下面積）？

而如果λ較大的時候，比如說λ=3吧，也就是說一天賣出三個饅頭，【】那么饅頭賣出間隔時間大於1的可能性已經變得很小了】：

2、每日賣出饅頭的數目X服從泊松分布，賣出饅頭的時間間隔Y服從指數分布？

【倒數關系】：他們的期望分別為：$$E ( X ) = \lambda , \quad E ( Y ) = \frac { 1 } { \lambda }$$

【倒數關系】：根據之前的分析就比較好理解了，E(X)的含義是平均每日賣出的饅頭數，而E(Y)是每個饅頭之間賣出的平均時間間隔，所以兩者是倒數關系：每日賣出的越多自然間隔時間越短，每日賣出的越少自然間隔時間越長。

二、通俗易懂理解指數分布（轉）

轉自：https://www.matongxue.com/madocs/2104/

指數分布和泊松分布息息相關，所以先簡單回憶下之前介紹過的泊松分布。公司樓下有家饅頭店，每天早上六點到十點營業：

老板統計了一周每日賣出的饅頭（為了方便計算和講解，縮小了數據），想從中找到一些規律：

$\begin{array}{c|c} \qquad\qquad&\qquad銷售\qquad\\ \hline\color{SkyBlue}{周一}& 3 \\ \hline \color{blue}{周二}& 7 \\ \hline \color{orange}{周三}&4\\ \hline \color{Goldenrod}{周四}&6\\ \hline \color{green}{周五}&5\\ \end{array}$

從中可以得到最簡單的規律，均值：

$\overline{X}=\frac{3+7+4+6+5}{5}=5$

這個規律顯然不夠好，如果把營業時間抽象為一根線段，把這段時間用 $T$ 來表示：

然后把賣出的饅頭數畫在這根線段上（節約篇幅，只畫出周一周二作為示意），可以看到每天賣出的饅頭起伏還是很大的：

經過老板一系列的騷操作（更具體的推導請看如何理解泊松分布），最后得到每日賣出的饅頭數 $X$ 服從泊松分布：

$X\sim P(\lambda),\quad \lambda=\overline{X}$

泊松分布的具體表達式為：

$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$

據此可以畫出每日賣出饅頭數的概率分布，這個規律就比均值要精細很多了：

2 饅頭賣出之間的時間間隔

下面來討論另外一個問題，饅頭賣出之間的時間間隔：

可以看出也是隨機變量（也就是圖中的 $T_1、T_2、T_3、\cdots$ ），不過相對饅頭賣出個數而言，時間間隔肯定是連續的隨機變量。

如果知道這個時間間隔，老板也好調整自己的服務員人數（時間間隔短，那么需要的服務人員就多，反之需要的就少），優化成本結構。那么問題來了，這個時間間隔服從什么分布？

3 一天的間隔

既然都是賣饅頭的問題，那么還是讓我們從已知的泊松分布上想想辦法。之前得到的泊松分布讓我們知道了每天賣出的饅頭數，所以下面按天來分析看看。

假如某一天沒有賣出饅頭，比如說周三吧，這意味着，周二最后賣出的饅頭，和周四最早賣出的饅頭中間至少間隔了一天：

當然也可能運氣不好，周二也沒有賣出饅頭。那么賣出兩個饅頭的時間間隔就隔了兩天，但無論如何時間間隔都是大於一天的：

而某一天沒有賣出饅頭的概率可以由泊松分布得出：

$P(X=0)=\frac{\lambda^0}{0!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}$

根據上面的分析，賣出兩個饅頭之間的時間間隔要大於一天，那么必然要包含沒有賣出饅頭的這天，所以兩者的概率是相等的。如果假設隨機變量為：

$Y=賣出兩個饅頭之間的時間間隔$

那么就有：

$P(Y > 1)=P(X=0)=e^{-\lambda}$

4 泊松過程

之前求出的泊松分布實在限制太大，只告訴了我們每天賣出的饅頭數。不過沒有關系，稍微擴展下可以得到新的函數：

$P(X=k,t)=\frac{\left(\lambda t\right)^k}{k!}e^{-\lambda t}$

通過新的這個函數就可知不同的時間段內賣出的饅頭數的分布了（ $t=1$ 時就是泊松分布）：

$\begin{array}{c|c} \hline \quad \quad &\quad t\quad&\quad PDF\quad\\ \hline \\ 每天賣出的饅頭數 & 1 & P(X=k,1)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\ 半天賣出的饅頭數 & \frac{1}{2} & P(X=k,\frac{1}{2})=\frac{\left(\frac{1}{2}\lambda\right)^k}{k!}e^{-\frac{1}{2}\lambda}\\ 三小時賣出的饅頭數 & \frac{1}{8} & P(X=k,\frac{1}{8})=\frac{\left(\frac{1}{8}\lambda\right)^k}{k!}e^{-\frac{1}{8}\lambda}\\ \\ \hline \end{array}$