調和級數求和

調和級數：\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\)是一個發散的序列，求和公式為：

\[\sum^{n}_{i=1}{\frac{1}{i}}=ln(n+1)+\gamma \]

其中\(\gamma\)為歐拉常數，\(\gamma\approx0.5772156\ldots\)

證明過程

1. 首先需要知道不等式\(\frac{1}{n+1}<ln(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}\)（通過\(\frac{1}{\lfloor x+1 \rfloor}\)和\(\frac{1}{x}\)和\(\frac{1}{\lfloor x \rfloor}\)三個函數的積分就可以得出）
2. \(\sum^{n}_{i=1}{\frac{1}{i}}=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}>ln(1+1)+\cdots+ln(1+\frac{1}{n})=ln(n+1)\)，所以調和級數發散
3. \(\sum^{n}_{i=1}{\frac{1}{i}}=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}<1+ln(1+1)+\cdots+ln(1+\frac{1}{n-1})=1+ln(n)\)
4. 令\(S_n=\sum^{n}_{i=1}{\frac{1}{i}}-ln(n)<1\)，也就是說有上界
5. 且\(S_{n+1}-S_n=\frac{1}{n+1}-ln(\frac{n}{n+1})>0\)，也就是單調遞增
6. 由單調有界極限定理可知\(S_n\)有極限，這個極限就是歐拉常數\(\gamma\approx0.5772156\ldots\)