定理
\(\binom{n+m}{m}\) 質因數分解后 \(p\) 的冪次為 \(n+m\) 在 \(p\) 進制下的進位次數。其中 \(p\) 為質數。
證明
因為 \(\binom{n+m}{m}\) 等於 \(\frac{(n+m)!}{n!m!}\)，所以 \(\binom{n+m}{m}\) 質因數分解后 \(p\) 的冪次為：
\[\large \sum_{i\geqslant 1} \left\lfloor \frac{n+m}{p^i} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{m}{p^i} \right\rfloor \\ \]
考慮對於 \(\left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor\)，其意義為 \(n\) 在 \(p\) 進制下去掉后 \(i\) 位得到的數，因此 \(n+m\) 在第 \(i+1\) 位進位的充要條件為 \(\left\lfloor \frac{n+m}{p^i} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{m}{p^i} \right\rfloor=1\)。