1、隨機事件與樣本空間及關系和運算
1.1、樣本空間
樣本空間 \(\Omega\) : E 的所有可能結果為元素構成的集合
樣本點 : \(\Omega\) 中的元素，即試驗的一個基本結果
其中，試驗的特征為：
- 試驗可以在相同的條件下重復進行
- 試驗的結果可能不止一個，但試驗前知道所有可能的全部結果
- 在每次試驗前無法確定會出現哪個結果具有上述特征的試驗稱為 隨機試驗，簡稱 試驗
1.2、隨機事件
樣本空間 \(\Omega\) 的子集稱為 隨機事件，簡稱為 事件
隨機試驗的數學描述：
-
試驗 E 的全部結果(其中是基本結果的集合) \(\Leftrightarrow\) 樣本空間 \(\Omega\) (其中是樣本點的集合)
-
隨機事件 \(\Leftrightarrow\) \(\Omega\) 中的子集 A
-
事件 A 發生 \(\Leftrightarrow\) A中樣本點出現
基本事件：由一個樣本點構成的單點集 { \({\omega}\) }
必然事件：\(\Omega(\Omega \subset \Omega)\)
不可能事件：\(\empty(空集\empty \subset \Omega)\)
1.3、事件的關系與運算
-
1、\(A \subset B\) \(\Leftrightarrow\) A 發生必導致 B 發生. 特別有 A = B \(\Leftrightarrow\) \(A \subset B, \ B \subset A\)
-
2、\(A \cup B = \{ \omega \in A \ or \ \omega \in B \}\) \(\Leftrightarrow\) A 發生或 B 發生，即 A，B 至少有一個發生，稱為事件 A，B 的 和
-
3、\(A \cap B = \{ \omega \in A, \ \omega \in B \}\) \(\Leftrightarrow\) A，B 同時發生稱為事件 A，B 的 積
類似地可定義 n 個事件的積：
\[\bigcap^{n}_{i = 1} A_i = \{ \omega \ | \ \omega \in A_i, \ i = 1, 2,..., n \} \] -
4、\(A - B = \{ \omega \ | \ \omega \in A, \ \omega \notin B \}\) \(\Leftrightarrow\) A 發生 B 不發生稱為事件 A，B 的差
-
5、若 \(A \cap B = \empty\)，則稱 A，B 互不相容（互斥），即 A，B 不能同時發生
-
6、若 \(A \cup B = \Omega\) 且 \(A \cap B = \empty\)，則稱 A，B 互為 逆事件 或稱為 對立事件，記為
\[A = \Omega - B = \bar{B}, \ B = \Omega - A = \bar{A} \]
1.4、事件的運算定律
2、頻率與概率
事件域
設 \(\Omega\) 為樣本空間，F 是由 \(\Omega\) 的子集組成的集合類，若 F 滿足一下三點，則稱 F 為 事件域
- \(\Omega \in F\);
- 若 \(A \in F\)，則 \(\bar{A} \in F\)
- 若 \(A_n \in F, \ n = 1, 2, ... ,\) 則 $$\bigcup^{+ \infty}_{n = 1} \in F$$
2.1、頻率(並由此導出概率的統計定義)
定義：記 \(f_n(A) = \displaystyle{\frac{n_A}{n}}\)；其中 \(n_A\)——A 發生的次數(頻數)；n——總試驗次數。稱 \(f_n(A)\) 為 A 在這 n 次試驗中發生的頻率。
性質：
- \(0 \leq f_n(A) \leq 1\)
- \(f_n(\Omega) = 1\)
- 若 \(A_1, A_2, ..., A_k\) 兩兩互不相容，則
且 \(f_n(A)\) 隨 n 的增大逐漸穩定，記穩定值為 p.
這種性質稱為頻率穩定性，也就是通常所說的統計規律性。
頻率穩定值 即概率的統計定義。
2.2、概率的公理化定義
2.2.1、公理
- 非負性公理： \(P(A) \geq 0\);
- 正則性公理： \(P(\Omega) = 1\);
- 可列可加性公理： 若 \(A_1, A_2, ......, A_n......\) 互不相容，則
注：不互斥就是相容，相容，根據字面意思，就是互相有包容的意思，就是有交集。
2.2.2、性質
-
\(P(\empty) = 0\)
-
有限可加性
\[P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k) = P(A_1) + P(A_2) + ... + P(A_k) \]其中，\(A_1, A_2 ... A_k\) 兩兩互不相容
-
如果 \(A \subset B\)，則
- \(\forall A \subset \Omega, \ 0 \leq P(A) \leq 1\)
- \(\forall A \subset \Omega, \ P(\bar{A}) = 1 - P(A)\)
- (加法公式) \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\) (注意：\(A \cup B = A \cup (B - AB)\)，不要因為東西多而犯迷糊了) 推廣：
3、等可能概型(古典概型)
3.1、定義
具有以下兩個條件的隨機試驗稱為等可能概型，
- 有限性 試驗的樣本空間中的元素只有有限個；
- 等可能性 每個基本事件的發生的可能性相同。
等可能概型也稱古典概型。
3.2、計算公式
- \(\Omega = \{ {\omega}_1, {\omega}_2, ..., {\omega}_n \}\) 且 \(P({\omega}_1) = P({\omega}_2) = ... = P({\omega}_n)\)
- 若事件 A 包含 k 個基本事件，即
其中 \((i_1, i_2, ... i_k \ 表示 \ 1, 2, ..., n \ 中的 \ k \ 個不同的數)\)
則有 \(P(A) = \displaystyle{\frac{k}{n}} = \displaystyle{\frac{A 包含的基本事件數}{\Omega 中基本事件的總數}}\)
3.3、計算方法
- 構造 A 和 \(\Omega\) 的樣本點(當樣本空間 \(\Omega\) 的元素較少時，先一一列出 \(\Omega\) 和 A 中的元素，直接利用 \(P(A) = \displaystyle{\frac{k}{n}}\) 求解)
- 用 排列組合 方法求 A 和 \(\Omega\) 的樣本點個數
預備知識：
Ⅰ. 加法原理：完成一項工作 m 類方法，第 i 類方法有 \(n_i\) 種(i = 1, 2, ..., m)，則完成這項工作共有：\(n_1 + n_2 + ... + n_m\) 種方法。
Ⅱ. 乘法原理：完成一個工作有 m 個步驟，第 i 步有 \(n_i\) 種方法(i= 1, 2, ..., m)，則完成該項工作一共有：\(n_1n_2...n_m\) 種方法。
Ⅲ. 排列：從 n 個元素中取出 r 個元素，按一定順序排成一列，稱為從 n 個元素里取出 r 個元素的排列。(n, r 均為整數)
① (無放回選取) 從 n 個不同的元素中無放回地取出 m 個(\(m \leq n\)) 進行排列，共有 \(P^{m}_{n} = n(n - 1)...(n - m + 1) = \displaystyle{\frac{n!}{(n - m)!}}\) 種方法。當 \(m = n, P^{n}_{n} = n!\)，這叫全排列。
② (有放回選取) 從 n 個不同元素中有放回地抽取 r 個，依次排成一列，稱為可重復排列，一共有 \(n^r\) 種方法。
Ⅳ. 組合：從 n 個元素中無放回取出 r 個元素，不考慮其順序，組合數為