【數論】整理關於ax+by=c

整理關於 \(\rm{ax+by=c}\)，遇到的一系列

在這里，\(x\) ，\(y\) 是變量，\(a,\;b,\;c\) 是常量

前置：

1. 對於二元一次不定方程 \(ax+by=c\)，有整數解的充要條件是 \((a,b)|c\) ；

2. 設 \(a=\frac a{gcd(a,b)}\), \(b=\frac b{gcd(a,b)}\)，\(c=\frac c{gcd(a,b)}\)，則此時 \(gcd(a,b)=1\)；

3. 若 \(gcd(a,b)=1\)，且不定方程 \(ax+by=c\) 有整數解 \(x=x_0,\,y=y_0\) ，則它的一切整數解可表示成：

   \[x=x_0+bt\\y=y_0-at\;(t\in \rm Z) \]

4. exgcd可求得 \(ax+by=gcd(a,b)\)的特解，\(x_0,\,y_0\)

5. 所以 \(ax+by=c\)的特解可表示成 :

   \[x_0=x_0\cdot\frac{c}{gcd(a,b)}=x_0\cdot c\\ y_0=y_0\cdot\frac{c}{gcd(a,b)}=y_0\cdot c \]

6. 由 \(\rm 3\)可得 \(ax+by=c\) 的通解 \(x,\,y\)

---

設以下， \(ax+by=c\) 中，均是 \(gcd(a,b)=1\)。

1,求 \(\rm{ax+by=c}\), \(x\)的最小正整數解

設 \(x_1\) 為 \(x\) 的最小正整數解，則 \(x_1\) :

\[x_1=(x\%b+b)\%b\\ 對應\;\;y_1=\frac{c-a*x_1}b \]

2, 求 \(\rm{ax+by}\) 的最大不可解 \(\rm c\)，且滿足 \(\rm{x>0,y>0}\) : \(\rm{c=a\times b}\)

3, 求 \(\rm{ax+by}\) 的最大不可解 \(\rm c\) , 且滿足 \(\rm{x\geq0,y\geq0}\) : \(\rm{c=a\times b-a-b}\)

2,3的證明見洛谷P3951題解

4,求 \(\rm{ax+by+cz=k}\) 的任意一組解，且滿足 \(\rm{x\geq0,y\geq0,z\geq0}\) :

​ 其中：\(1\leq a,b,c\leq10^5 ,0\leq k\leq 10^{12}\) ，保證數據有解

​ \(ax+by=k-cz\) 有解的前提是 \(gcd(a,b)|(k-cz)\)，則需枚舉z使得滿足條件\(gcd(a,b)|(k-cz)\)下，可解的符合的 \(x,\,y\)。

​ 設 \(g=gcd(a,b)\) \(ec=k\%g\)，則所求的 \(z\) 需滿足\(zc-tg=ec\)，且 \(z\geq0\)。

​ 所以求出最小 \(z\)，再枚舉滿足通項公式的 \(z\)，直到有解。

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=2e5+5;

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b){
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    ll g=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return g;
}

void solve(ll a,ll&b,ll c,ll&x,ll&y)
{
    ll g=__gcd(a,b),x0,y0;
    a/=g;b/=g;c/=g;
    exgcd(a,b,x0,y0);
    x0*=c;y0*=c;
    x=x0+b;//y=y0-a;
    x=(x%abs(b)+abs(b))%abs(b);y=(c-a*x)/b;
}

int main()
{
    ll a,b,c,k,g,ec,x,y,z,t,tb,tk,ttb;
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&k);
    g=__gcd(a,b);
    ec=k%g;
    tb=-g;
    solve(c,tb,ec,z,t);
    tb=abs(tb);
    do{
        tk=k-z*c;ttb=b;
        solve(a,ttb,tk,x,y);
        if(x>=0&&y>=0)
        {
            printf("%lld %lld %lld\n",x,y,z);
            break;
        }
        z+=tb;
    }while(1);
}