解不定方程ax+by=m的最小解

 

　　

　　給出方程a*x+b*y=c，其中所有數均是整數，且a，b，c是已知數，求滿足那個等式的x，y值？這個方程可能有解也可能沒解也可能有無窮多個解（注意：這里說的解都是整數解）？

　　既然如此，那我們就得找出有解和無解的條件！

　　先給出定理：方程a*x+b*y=c有解，當且僅當 c%gcd(a，b)=0。

　　定理的證明很容易，如下：

　　證明：

　　若c%gcd(a，b)=0,則一定存在一個整數K，有c=K*gcd(a，b)， 而我們知道a*x+b*y=gcd(a，b)一定存在解(x1, y1)_，所以就有K*(a*x₁ +b*y₁ )  = K*gcd(a，b)------>a*K*x₁ +b*K*y₁ = c，得出解為：(K*x₁ , K*y₁ )。定理得證。

 

　　那么在a*x+b*y=c有解的情況下如何求解呢？

　　

　　由上可知，a*x+b*y=c 與 a*x+b*y=K*gcd(a,b)是等價的。另外a*x+b*y=gcd(a,b)的一組解為 x1, y1。

　　令a1=a/gcd(a,b), b1=b/gcd(a,b),c1=c/gcd(a,b).

　　綜上，我們可以得出x，y的一組解就是x1*c1， y1*c1(實際上這個解我們在上面的證明定理的過程中就可以得出這組解，只是我們要的是最小解，所以在此處給出)，但是滿足方程的解有無窮多個，在實際的解題中我們常常只要求其最小解。現以求x的最小解為例，至此我們已經求的一組解使得滿足方程a*x+b*y=m，那么a*(x+n*b)+b*(y-n*a)=m顯然也成立。可知x+n*b(n=....-2,-1,0,1,2....)就是方程x解集。存在一個k使得x+k*b>0，x的最小解就是(x+k*b)%b.若我們將方程兩邊同時除以gcd(a,b)，則方程變為a1*x+b1*y=c1，同上分析可知。x的最小值就是（x+k*b1）%b1，由於b1<=b，故這個值定會小於等於之前我們認為最小值。在實際求解時常用while(x<0) x+=b來使得為正的條件滿足。

 

　　另外給出所有解得公式，若x0，y0是該方程的一組整數解，那么該方程的所有整數解可表示為

　　X = x0+b/(a,b)*t;

　　Y = y0-a/(a,b)*t;

 代碼如下：

　　

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1, y=0;
        return a;
    }
    int r = Exgcd(b, a%b, x, y);
    int tp=x;
    x = y;
    y = tp-a/b*y;
    return r;
}

void Liner_qu(int a, int b, int c, int d, int &x, int &y)
{
    a /= d, b/= d, c /= d;
    x *= c; // 任意一解
    y *= c;
    int tx = x;
    x %= b; //最小解，
    if(x<=0) x += (int)abs(b*1.0); //最小整數解
    int k=(tx-x)/b;
    y += k*a; //對應y的最小整數解
    printf("%d %d\n", x, y);
}

int main()
{
    int a, b, c, d, x, y;
    while(~scanf("%d%d%d", &a, &b, &c))
    {
        d = Exgcd(a, b, x, y);
        if(a==0&&b==0&&c==0) puts("1 -1");
        else if((a==0&&b==0&&c) || c%d || (a&&b==0&&c==0))
            puts("No solution");
        else if(a&&b==0)
            printf("%d %d\n",c/a, -c/a);
        else if(a==0&&b)
            printf("1 %d\n",c/b);
        else
            Liner_qu(a, b, c, d, x, y);
    }
    return 0;
}

 

 

參考資料：百度百科

　　　　　http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html