定義
H陣：設\(A\in C^{n\times n}\)，若有 \(A^H = A\)，則稱矩陣 \(A\) 為Hermite矩陣，簡稱為H陣。
正規陣：設\(A\in C^{n\times n}\)，則稱 \(A\) 是正規陣。
直接根據定義，容易證明H陣是的正規陣的子集。
定理
- \(A\in C^{n\times n}\) 是正規陣 \(\iff\) \(A\) 酉相似於對角陣。
- H 陣的特征值均是實數。
- H 陣的屬於不同特征值的特征向量相互正交。
題目
設\(A\)為正規陣，證明：
1）\(A\)為H陣 \(\iff\) \(A\)的特征值全是實數；
2）\(A\)為酉矩陣 \(\iff\) \(A\)的特征值的模全為1.
解答
1）必要性：設\(lambda\)是\(A\)的一個特征值，對於特征向量\(\eta\ne \theta\)。
則\(A\eta = \lambda \eta\) (1)
此外，由\(A\)是H陣，則\(A^H = H\) （2）
由式（1），\(\eta^HA\eta = \eta^H(A\eta)=\eta^H\lambda\eta = \lambda\eta^H\eta\) （3）
結合式（2），\(\eta^HA\eta=\eta^HA^H\eta = (A\eta)^H\eta = (\lambda\eta)^H\eta=\lambda^H\eta^H\eta\) （4）
由（3）、（4）式左右兩邊相等，可得 \(\lambda^H = \lambda\)，故\(\lambda\)為實數，因此\(A\)的特征值全是實數。
充分性：
由\(A\)是正規陣，則存在酉矩陣\(U\)，使得\(U^HAU = \Lambda\)，則\(A = U\Lambda U^H\)，注意到酉矩陣的逆矩陣即為共軛轉置。
此時\(A^H = U^{H^H}\Lambda^H U^H = U\Lambda U^H = A\)，則\(A\)是H陣。前面等式用到兩次共軛轉置等於原來矩陣，以及實對角矩陣的共軛轉置等於自身。
2）必要性：由\(A\)是正規陣和酉矩陣，則存在酉矩陣\(U\)，使得\(U^HAU =\Lambda\)，\(\Lambda\)是多個酉矩陣的連乘，所以也是酉矩陣，且 \(\Lambda^H\Lambda = I\)，則 \(\lambda_i \bar{\lambda_i} = 1\)，即\(A\)的特征值的模為1.
充分性：設\(A\)相似的對角陣為\(\Lambda\)，即\(U^HAU = \Lambda\)，則由於\(A\)的特征值的模全為1，易得 \(\Lambda^H \Lambda = I\)，則由 \(A=U\Lambda U^H\) 可得\(A\) 是酉矩陣。