常用十大算法（六）— 普里姆算法

常用十大算法（六）— 普里姆算法

博客說明

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介紹

普利姆(Prim)算法求最小生成樹，也就是在包含n個頂點的連通圖中，找出只有(n-1)條邊包含所有n個頂點的連通子圖，也就是所謂的極小連通子圖

最小生成樹

• 最小生成樹(Minimum Cost Spanning Tree)，簡稱MST。
• 給定一個帶權的無向連通圖,如何選取一棵生成樹,使樹上所有邊上權的總和為最小,這叫最小生成樹
• N個頂點，一定有N-1條邊
• 包含全部頂點
• N-1條邊都在圖中
• 求最小生成樹的算法主要是普里姆算法和克魯斯卡爾算法

修路問題

• 有勝利鄉有7個村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，現在需要修路把7個村庄連通
• 各個村庄的距離用邊線表示(權) ，比如 A – B 距離 5公里
• 問：如何修路保證各個村庄都能連通，並且總的修建公路總里程最短?
• 思路: 將10條邊，連接即可，但是總的里程數不是最小.
• 正確的思路，就是盡可能的選擇少的路線，並且每條路線最小，保證總里程數最少.

思路

• 設G=(V,E)是連通網，T=(U,D)是最小生成樹，V,U是頂點集合，E,D是邊的集合
• 若從頂點u開始構造最小生成樹，則從集合V中取出頂點u放入集合U中，標記頂點v的visited[u]=1
• 若集合U中頂點ui與集合V-U中的頂點vj之間存在邊，則尋找這些邊中權值最小的邊，但不能構成回路，將頂點vj加入集合U中，將邊（ui,vj）加入集合D中，標記visited[vj]=1
• 重復步驟②，直到U與V相等，即所有頂點都被標記為訪問過，此時D中有n-1條邊

代碼實現

package com.atguigu.prim;

import java.util.Arrays;

public class PrimAlgorithm {

	public static void main(String[] args) {
		char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
		int verxs = data.length;
		int [][]weight=new int[][]{
            {10000,5,7,10000,10000,10000,2},
            {5,10000,10000,9,10000,10000,3},
            {7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
            {10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
            {10000,10000,8,10000,10000,5,4},
            {10000,10000,10000,4,5,10000,6},
            {2,3,10000,10000,4,6,10000},};

        MGraph graph = new MGraph(verxs);
        MinTree minTree = new MinTree();
        minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
        minTree.showGraph(graph);
        minTree.prim(graph, 1);
	}

}

//最小生成樹
class MinTree {
  //創建
	public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
		int i, j;
		for(i = 0; i < verxs; i++) {
			graph.data[i] = data[i];
			for(j = 0; j < verxs; j++) {
				graph.weight[i][j] = weight[i][j];
			}
		}
	}
	
	//顯示
	public void showGraph(MGraph graph) {
		for(int[] link: graph.weight) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}
	
	//prim算法
	public void prim(MGraph graph, int v) {
		int visited[] = new int[graph.verxs];
    //標記已訪問
		visited[v] = 1;
		int h1 = -1;
		int h2 = -1;
		int minWeight = 10000;
		for(int k = 1; k < graph.verxs; k++) {
			for(int i = 0; i < graph.verxs; i++) {
				for(int j = 0; j< graph.verxs;j++) {
					if(visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
						minWeight = graph.weight[i][j];
						h1 = i;
						h2 = j;
					}
				}
			}
			System.out.println("邊<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 權值:" + minWeight);
			visited[h2] = 1;
			minWeight = 10000;
		}
	}
}

class MGraph {
	int verxs;
	char[] data;
	int[][] weight;
	
	public MGraph(int verxs) {
		this.verxs = verxs;
		data = new char[verxs];
		weight = new int[verxs][verxs];
	}
}

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