原碼，反碼，補碼、移碼

參考文章

參考文章1

https://blog.csdn.net/zl10086111/article/details/80907428

作者：張子秋
出處：http://www.cnblogs.com/zhangziqiu/ 
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參考文章2

https://blog.csdn.net/afsvsv/article/details/94553228

 

參考文章3

https://www.cnblogs.com/Jamesjiang/p/8947252.html

 

一、預備知識

在學習原碼, 反碼和補碼之前, 需要先了解一些概念.

1、機器數

一個數在計算機中的二進制表示形式,  叫做這個數的機器數。機器數是帶符號的，在計算機用一個數的最高位存放符號, 正數為0, 負數為1.

比如，十進制中的數 +3 ，計算機字長為8位，轉換成二進制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。

那么，這里的 00000011 和 10000011 就是機器數。

 

2、真值

因為第一位是符號位，所以機器數的形式值就不等於真正的數值。例如上面的有符號數 10000011，其最高位1代表負，其真正數值是 -3，而不是形式值131（10000011轉換成十進制等於131）。所以，為區別起見，將帶符號位的機器數對應的真正數值稱為機器數的真值。

例：

0000 0001的真值 = +000 0001 = +1

1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

 

3、原理

我們學習之前還得認識二進制，十六進制。會二進制與十進制的相互轉化運算。

進制轉換可以參考我的博客：https://www.cnblogs.com/Zzbj/p/10905744.html

 

由計算機的硬件決定，任何存儲於計算機中的數據，其本質都是以二進制碼存儲。

根據馮~諾依曼提出的經典計算機體系結構框架。一台計算機由運算器，控制器，存儲器，輸入和輸出設備組成。其中運算器，只有加法運算器，沒有減法運算器。

 

所以，計算機中的沒法直接做減法的，它的減法是通過加法來實現的。你也許會說，現實世界中所有的減法也可以當成加法的，減去一個數，可以看作加上這個數的相反數。當然沒錯，但是前提是要先有負數的概念。這就為什么不得不引入一個該死的符號位。

1. 而且從硬件的角度上看，只有正數加負數才算減法。

2. 正數與正數相加，負數與負數相加，其實都可以通過加法器直接相加。

原碼，反碼，補碼的產生過程，就是為了解決，計算機做減法和引入符號位（正號和負號）的問題。

 

二、原碼, 反碼, 補碼的基礎概念和計算方法

對於一個數, 計算機要使用一定的編碼方式進行存儲. 原碼, 反碼, 補碼是機器存儲一個具體數字的編碼方式.

 

1、原碼

原碼：是最簡單的機器數表示法。用最高位表示符號位，‘1’表示負號，‘0’表示正號。其他位存放該數的二進制的絕對值。

 

例如：

帶符號的8位二進制:

[+1]_原 = 0000 0001 = +1

[-1]_原 = 1000 0001 = -1

 

若以帶符號位的四位二進值數為例 

1. 1010 ： 最高位為‘1’,表示這是一個負數，其他三位為‘010’，

2. 即（0*2^2）+（1*2^1）+（0*2^0）=2（‘^’表示冪運算符）

3. 所以1010表示十進制數（-2）。

 

下圖給出部份正負數數的二進制原碼表示法

 

首先大概了解一下二級制加法運算

二進制運算規則：逢2進1
0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10 
也就是當兩個數相加的二進制位僅一位為1時，相加的結果為1；
如果兩個二進制位全是0，相加的結果仍為0；
而如果兩個相加的二進制位均為1，則結果為10（相當於十進制中的2）


例如：
# 這里暫時不考慮符號
1010 + 0110 = 10 + 6 = 16

   1010
+  0110
----------
  10000

逢2進1(從右到左)：
0+0=0
1+1=10  # 進位1，剩余0
0+1+1(這個1是進位) = 10  # 進位1，剩余0
1+0+1(這個1是進位) = 10  # 進位1，剩余0
1  # 最后進位得到的1


再比如
111 + 111 = 7 + 7 = 14

   111
+  111
----------
  1110

逢2進1(從右到左)：
1+1=10  # 進位1，剩余0
1+1+1(這個1是進位)=10+1=11  # 進位1，剩余1，這種情況的運算規則是：先算原本的1+1=10，再算10+1(進位)=11
1+1+1(這個1是進位)=10+1=11  # 進位1，剩余1
1  # 最后進位得到的1

 

二進制減法運算

二進制減法如何借位
例如：100 - 1 = 4 - 1 = 3


二進制在減法運算時，當前一位為0就再向前借位。
直到不為零的位數，借1位當2算。

所以
  100
-   1

借位后相當於
  012  （實際二進制中沒有2，這里需要自己體會一下）
-   1
----------
  011

即：3

 

OK，原碼表示法很簡單有沒有，雖然出現了+0和-0，但是直觀易懂。
於是，我們高興的開始運算。

0001+0010=0011 （1+2=3）OK

0000+1000=1000 （+0+（-0）=-0） 額，問題不大

0001+1001=1010 （1+（-1）=-2）

噢，1+（-1）=-2，這仿佛是在逗我呢。

於是我們可以看到其實正數之間的加法通常是不會出錯的，因為它就是一個很簡單的二進制加法。

而正數與負數相加，或負數與負數相加，就要引起莫名其妙的結果，這都是該死的符號位引起的。0分為+0和-0也是因他而起。

所以原碼，雖然直觀易懂，易於正值轉換。但用來實現加減法的話，運算規則總歸是太復雜。於是反碼來了。

 

2、反碼

我們知道，原碼最大的問題就在於一個數加上他的相反數不等於零。

例如：

0000 0001 + 1000 0001 = 1000 0010 (1+(-1)=-2)

0000 0010 + 1000 0010 = 1000 0100 (2+(-2)=-4)

於是反碼的設計思想就是沖着解決這一點，既然一個負數是一個正數的相反數，那我們干脆用一個正數按位取反來表示負數試試。

反碼：

正數的反碼還是等於原碼 負數的反碼就是他的原碼除符號位外，按位取反。

例如：

帶符號的8位二進制:

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反

 

那么我們再試着用反碼的方式解決一下原碼的問題

把原碼都轉成反碼進行計算，得到反碼，把結果得到的反碼再換算回原碼即可

反碼轉換回原碼：
正數：反碼就是原碼
負數：符號位不變，其他位按位取反

# 正數和負數相加
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
互為相反數相加等於0，解決，雖然是得到的結果是-0

1 - 2 = 1 + (-2) = [0000 0001]原 + [1000 0010]原 = [0000 0001]反 + [1111 1101]反 = [1111 1110]反 = [1000 0001]原 = -1
結果也是正確的

# 再試着做一下兩個負數相加
(-1) + (-2) = [1000 0001]原 + [1000 0010]原 = [1111 1110]反 + [1111 1101]反 = [1 1111 1011]反 = [1 0000 0100]原 = -4

噢，好像又出現了新問題
（-1）+（-2）=（-4）?

看來相反數問題是解決了，但是卻讓兩個負數相加的出錯了。

但是實際兩個正數相加和兩個負數相加，其實都是一個加法問題，只是有無符號位罷了。而正數+負數才是真正的減法問題.
也就是說只要正數+負數不會出錯，那么就沒問題了。負數加負數出錯沒關系的，負數的本質就是正數加上一個符號位而已。

在原碼表示法中兩個負數相加，其實在不溢出的情況下結果就只有符號位出錯而已（1001+1010=0011)

實際反碼表示法其實已經解決了減法的問題，他不僅不會像原碼那樣出現兩個相反數相加不為零的情況，而且對於任意的一個正數加負數的計算結果是正確的。
所以反碼與原碼比較，最大的優點，就在於解決了減法的問題。

但我們還有一個負數相加的問題，此時就需要用補碼了。

 

3、補碼

補碼：

1. 正數的補碼等於他的原碼
2. 負數的補碼是在其原碼的基礎上, 符號位不變, 其余各位取反, 最后+1. (即在反碼的基礎上+1)

 

[+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反 = [00000001]_補

[-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反 = [11111111]_補

 

補碼運算規則是：

• X+Y = [X]補 + [Y]補 = [X+Y]補 = 再轉換為原碼即可
• X-Y = [X]補 + [-Y]補 = [X-Y]補 = 再轉換為原碼即可
• -X-Y = [-X]補 + [-Y]補 = [-X-Y]補 = 再轉換為原碼即可

例如：

正數和負數相加：
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]補 + [1111 1111]補 = [1 0000 0000]補 = [0 0000 0000]原 = 0

兩個負數相加：
(-1) + (-2) = [1000 0001]原 + [1000 0010]原 = [1111 1111]補 + [1111 1110]補 = [1 1111 1101]補 = [1 1111 1100]反 = [1 0000 0011]原 = -3

# 由此可見，補碼即解決了符號問題，也解決了負數加負數的情況

 

4、移碼

移碼（又叫增碼或偏置碼）通常用於表示浮點數的階碼，其表示形式與補碼相似，只是其符號位用“1”表示正數，用“0”表示負數，數值部分與補碼相同。

即：不管正負數，只要將其 補碼的符號位取反即可。

例如：

[X]原= 1010_1011 ，[X]反=1101_0100，[X]補=1101_0101，[X]移=0101_0101

 

三、溢出

1、溢出的常用處理方法

用變形補碼進行雙符號位運算

使用雙符號位法計算需要遵循以下兩個規則：

1. 兩個符號位都看做數碼一樣參加運算；
2. 兩數進行以2^n+2為模的加法，即最高符號位上產生的進位要丟掉；
3. 計算結果以符號位高位為結果符號

符號位	結果
00	正數
01	溢出
10	溢出
11	負數

 

2、溢出解析

1.說到溢出，還是要先提一下自然丟棄。
請看下面這個例子：

　　-3 - 6

　　-3  -->   1101[補]

　　-6  -->   1010[補]

　　相加  --------

　　結果 (1)0111

　　結果的位數比原先的多出了一位，此處最左邊的1，是會被自然丟棄的(就是不要了)。再看結果，對0111[補]=0111[原](也就是+7)。這和我們想要的-9有天壤之別。為什么會出現這個情況呢？

　　原因就是這里出現了溢出！

首先來看溢出的定義：

　　對一個N位有符號的二進制補碼，其可以表達的范圍是 [ - 2^N-1 ~ 2^N-1 - 1 ] 之間。如果超出這個范圍就稱為溢出了。

拿上面的-3-6來說，我們剛剛在計算時，轉換為四位二進制補碼(算上符號位)，那么它的取值范圍是-8~+7之間。而我們想要的結果是-9,比范圍的最小值還要小，這個叫做負溢出。同理如果想要的結果比最大值還要大，那么就叫做正溢出，如取值范圍是-8~+7之間，想要的結果是+9，那么就是正溢出。

說完了溢出的定義，我們來說說溢出的判定，就是怎么在計算開始時知道自己算的結果是不是溢出了？

采用雙符號形式，我們再計算一次 -3-6
    11 101[補]

    11 010[補]

(1)10 111[補]

得到結果是 10 111[補](最高位超出位寬，自然舍棄)，采用雙符號運算得到的最后結果應該是單符號的，

就是：-3 = 11 101 前面雙符號11代表負數， -6 = 11 010 前面雙符號11代表負數，但是得到的結果10 111(發生負溢出)，只有前面1是符號位，代表負數，真值是0 111

因此最后結果：10 111[補] = 1 0110[反] = 1 1001[原] = -9

 

四、反碼與補碼的原理

計算機中的數值是以補碼形式存儲的（只不過正數的補碼跟原碼一樣。

強調原碼，反碼，補碼的引入是為了解決做減法的問題。在原碼，反碼表示法中，我們把減法化為加法的思維是減去一個數，等於加上一個數的相反數，結果發現引入了符號位，卻因為符號位造成了各種意向不到的問題。

反碼+1 ，它只是補碼的另外一種求法，不是補碼的定義。

 

1、補碼的原理

為了便於理解可以用時鍾計算（12小時制的）
9要撥到5，可以減4，也可以加8 ，所以此時 -4和+8是等價的 。
那么 ，我們可以認為 8是4的補碼
那么這兩個數有什么聯系呢？ 沒錯他們和在一起就繞了時鍾一圈，用數學表達的話就是 兩數的相加的絕對值 為 12
類比到補碼：首先的明白一圈是多少 ？假設機器一圈為128(2的7次方)
於是用128減真值 也就是所謂的 數值位取反，末位加一 的操作了。
再回到時鍾， 9-4=9+[4]補=(9+8)%12 因為他會多走一圈，所以我們再在這里還要 %12，而計算機補碼是有周期的，不用這一步。

 

也就是，當前9點，我們希望撥到5點，做法如下

1. 往回撥4個小時: 9 - 4 = 5

2. 往前撥8個小時: (9 + 8) mod 12 = 5

3. 往前撥8+12=20個小時: (9+20) mod 12 =5

2,3方法中的mod是指取模操作, 17 mod 12 =5 即用17除以12后的余數是5.

所以鍾表往回撥(減法)的結果可以用往前撥(加法)替代!

現在的焦點就落在了如何用一個正數, 來替代一個負數. 上面的例子我們能感覺出來一些端倪, 發現一些規律. 但是數學是嚴謹的. 不能靠感覺.

首先介紹一個數學中相關的概念: 同余

兩個整數a，b，若它們除以整數m所得的余數相等，則稱a，b對於模m同余

記作 a ≡ b (mod m)

讀作 a 與 b 關於模 m 同余。

舉例說明:

4 mod 12 = 4

16 mod 12 = 4

28 mod 12 = 4

所以4, 16, 28關於模 12 同余.

 

負數取模

-1 mod 4 = (-1 + 4*n) mod 4，n取正整數，一直到括號里的數不為負數。

例如:

(-2) mod 12 = 12-2=10

(-4) mod 12 = 12-4 = 8

(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7

 

再回到時鍾的問題上:

回撥2小時 = 前撥10小時

回撥4小時 = 前撥8小時

回撥5小時= 前撥7小時

注意, 這里發現的規律!

結合上面學到的同余的概念.實際上:

(-2) mod 12 = 10

10 mod 12 = 10

-2與10是同余的.

(-4) mod 12 = 8

8 mod 12 = 8

-4與8是同余的.

距離成功越來越近了. 要實現用正數替代負數, 只需要運用同余數的兩個定理:

反身性:

a ≡ a (mod m)

這個定理是很顯而易見的.

線性運算定理:

如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:

(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

(2)a * c ≡ b * d (mod m)

如果想看這個定理的證明, 請看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm

所以:

7 ≡ 7 (mod 12)

(-2) ≡ 10 (mod 12)

7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

現在我們為一個負數, 找到了它的正數同余數. 但是並不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即計算結果的余數相等.

接下來回到二進制的問題上, 看一下: 2-1=1的問題.

2-1=2+(-1) = [0000 0010]_原 + [1000 0001]_原= [0000 0010]_反 + [1111 1110]_反

先到這一步, -1的反碼表示是1111 1110. 如果這里將[1111 1110]認為是原碼, 則[1111 1110]原 = -126, 這里將符號位除去, 即認為是126.

發現有如下規律:

(-1) mod 127 = 126

126 mod 127 = 126

即:

(-1) ≡ 126 (mod 127)

2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

2-1 與 2+126的余數結果是相同的! 而這個余數, 正式我們的期望的計算結果: 2-1=1

所以說一個數的反碼, 實際上是這個數對於一個膜的同余數. 而這個膜並不是我們的二進制, 而是所能表示的最大值! 這就和鍾表一樣, 轉了一圈后總能找到在可表示范圍內的一個正確的數值!

而2+126很顯然相當於鍾表轉過了一輪, 而因為符號位是參與計算的, 正好和溢出的最高位形成正確的運算結果.

既然反碼可以將減法變成加法, 那么現在計算機使用的補碼呢? 為什么在反碼的基礎上加1, 還能得到正確的結果?

2-1=2+(-1) = [0000 0010]_原 + [1000 0001]_原 = [0000 0010]_補 + [1111 1111]_補

如果把[1111 1111]當成原碼, 去除符號位, 則:

[0111 1111]_原 = 127

其實, 在反碼的基礎上+1, 只是相當於增加了膜的值:

(-1) mod 128 = 127

127 mod 128 = 127

2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

此時, 表盤相當於每128個刻度轉一輪. 所以用補碼表示的運算結果最小值和最大值應該是[-128, 128].

但是由於0的特殊情況, 沒有辦法表示128, 所以補碼的取值范圍是[-128, 127]