DS證據理論_學習筆記

本文轉載自查看原文 2020-09-04 11:35 993 Math_D-S證據理論

D-S證據理論_學習筆記

注意，筆者水平一般，主要內容來源於參考資料，如有錯誤請多多指教。不定期更新。

由來

D-S證據理論全稱“Dempster-Shafer證據理論”，源於美國哈佛大學數學家A. P. Dempster在利用上、下限概率來解決多值映射問題方面的研究工作。后來他的學生G. Shafer引入信任函數的概念，形成了一套基於“證據”和“組合”來處理不確定性推理問題的數學方法。1976年出版的《證據的數學理論》(A Mathematical Theory of Evidence)標志着證據理論正式成為了一種處理不確定性問題的完整理論。證據理論的核心是Dempster在研究統計問題提出的、隨后被Shafer推廣的Dempster合成規則。

證據理論的優點是：

在證據理論中需要的的先驗數據容易獲得。
Dempster合成公式可以綜合不同專家或數據源的知識或數據，用途廣泛。

證據理論的缺點是：

要求證據必須是獨立的，有時這不易滿足。
證據合成規則沒有非常堅固的理論支持，其合理性和有效性還存在較大的爭議。
計算上存在着潛在的指數爆炸問題。

質疑證據合成規則合理性的問題之一：“Zadeh悖論”，詳見參考資料DS證據理論 _浙大。為此有很多完善D-S證據理論的工作，感興趣的請自行查找相關資料。

基本概念和推理過程

入門理解D-S證據理論可以看這篇文章D-S envidence theory(DS 證據理論)的基本概念和推理過程，對照着參考資料DS證據理論 _浙大看就能有個大概的理解了。這里僅僅是摘錄基本概念和合成規則，以及個人理解，詳細過程不再贅述。

基本概念

基本概念有4個。設 $Θ$ 是一個假設空間，也叫識別框架。

基本概率分配

英文全稱：Basic Probability Assignment，簡稱BPA。在假設空間上，使用一個叫做mass函數的函數 $m$ 來計算假設空間中每個元素的概率。明顯，對於同一個mass函數而言，假設空間中每個元素的概率之和等於1。也即滿足：

\begin{array}{r} m (\emptyset) & = 0 \\ \sum_{A \subseteq Θ} m (A) & = 1 \end{array}

其中，使得

m (A) > 0

的

A

稱為焦元(Focal elements)。

我感覺，一般不同的專家或者證人就會有不同的看法，也即有不同函數 $m$ 。

信任函數

Belief function，在識別框架 $Θ$ 上基於BPA m的信任函數定義為：

B e l (A) = \sum_{B \subseteq A} m (B)

似然函數

Plausibility function，在識別框架 $Θ$ 上基於BPA m的似然函數定義為：

P l (A) = \sum_{B \cap A \neq \emptyset} m (B)

信任區間

信任區間用於表示對某個假設的確認程度，比如假設A的信任區間被定義為 $[B e l (A), P l (A)]$ 。

我簡單理解為A的嫌疑至少是其子集的概率之和，至多是其涉及集合的概率之和。（純屬寫給自己看的，請忽略）

Dempster合成規則

Dempster's combinational rule，也叫做證據合成公式，定義如下：

對於 $\forall A \subseteq Θ$ ， $Θ$ 上的兩個mass函數 $m_{1}, m_{2}$ 的Dempster合成規則為：

m_{1} ⨁ m_{2} (A) = \frac{1}{K} \sum_{B \cap C = A} m_{1} (B) \cdot m_{2} (C)

其中，

K

是 歸一化常數：

K = \sum_{B \cap C \neq \emptyset} m_{1} (B) m_{2} (C) = 1 - \sum_{B \cap C = \emptyset} m_{1} (B) \cdot m_{2} (C)

對於

\forall A \subseteq Θ

，

Θ

上的有限個mass函數

m_{1}, m_{2}, \dots, m_{n}

的 Dempster合成規則為：

(m_{1} ⨁ m_{2} ⨁ \dots ⨁ m_{n}) (A) = \frac{1}{K} \sum_{A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \dots \cap A_{n} = A} m_{1} (A_{1}) \cdot m_{2} (A_{2}) \dots m_{n} (A_{n})

其中，

\begin{array}{ll} K & = \sum_{A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n} \neq \emptyset} m_{1} (A_{1}) \cdot m_{2} (A_{2}) \dots m_{n} (A_{n}) \\ = 1 - \sum_{A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n} = \emptyset} m_{1} (A_{1}) \cdot m_{2} (A_{2}) \dots m_{n} (A_{n}) \end{array}

步驟總結

運用D-S證據理論的形式一般是這樣的。首先有一個假設空間，里面的每個元素代表一種情況。有 $n$ 個專家拿着不同的 $m$ 函數過來給每種情況的可能性打分，范圍是 $[0, 1]$ ，符合前面所說的基本概率分配概念。然后就得到一個表格，這個表格可以經常在參考資料中看到。然后根據這個表格，可以計算出 $n$ 個專家融合的 $m$ 函數，使用這個函數給每種情況計算融合信任。一般計算過程如下：

根據Dempster合成規則計算 $K$
根據Dempster合成規則計算每種情況的融合信任
根據基本概念計算每種情況的信任區間，這里一般使用融合函數 $m$ 進行計算

暫時就這樣了，如果對本文觀點不放心，可以去看參考資料或者其他更加權威的資料。我日后會查看更多資料，更新本文。

例子

作者很懶，還沒有寫例子，可以看看參考資料或者網上其他資料的例子。

參考資料

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