DS证据理论_学习笔记

本文转载自查看原文 2020-09-04 11:35 993 Math_D-S证据理论

D-S证据理论_学习笔记

注意，笔者水平一般，主要内容来源于参考资料，如有错误请多多指教。不定期更新。

由来

D-S证据理论全称“Dempster-Shafer证据理论”，源于美国哈佛大学数学家A. P. Dempster在利用上、下限概率来解决多值映射问题方面的研究工作。后来他的学生G. Shafer引入信任函数的概念，形成了一套基于“证据”和“组合”来处理不确定性推理问题的数学方法。1976年出版的《证据的数学理论》(A Mathematical Theory of Evidence)标志着证据理论正式成为了一种处理不确定性问题的完整理论。证据理论的核心是Dempster在研究统计问题提出的、随后被Shafer推广的Dempster合成规则。

证据理论的优点是：

在证据理论中需要的的先验数据容易获得。
Dempster合成公式可以综合不同专家或数据源的知识或数据，用途广泛。

证据理论的缺点是：

要求证据必须是独立的，有时这不易满足。
证据合成规则没有非常坚固的理论支持，其合理性和有效性还存在较大的争议。
计算上存在着潜在的指数爆炸问题。

质疑证据合成规则合理性的问题之一：“Zadeh悖论”，详见参考资料DS证据理论 _浙大。为此有很多完善D-S证据理论的工作，感兴趣的请自行查找相关资料。

基本概念和推理过程

入门理解D-S证据理论可以看这篇文章D-S envidence theory(DS 证据理论)的基本概念和推理过程，对照着参考资料DS证据理论 _浙大看就能有个大概的理解了。这里仅仅是摘录基本概念和合成规则，以及个人理解，详细过程不再赘述。

基本概念

基本概念有4个。设 $Θ$ 是一个假设空间，也叫识别框架。

基本概率分配

英文全称：Basic Probability Assignment，简称BPA。在假设空间上，使用一个叫做mass函数的函数 $m$ 来计算假设空间中每个元素的概率。明显，对于同一个mass函数而言，假设空间中每个元素的概率之和等于1。也即满足：

\begin{array}{r} m (\emptyset) & = 0 \\ \sum_{A \subseteq Θ} m (A) & = 1 \end{array}

其中，使得

m (A) > 0

的

A

称为焦元(Focal elements)。

我感觉，一般不同的专家或者证人就会有不同的看法，也即有不同函数 $m$ 。

信任函数

Belief function，在识别框架 $Θ$ 上基于BPA m的信任函数定义为：

B e l (A) = \sum_{B \subseteq A} m (B)

似然函数

Plausibility function，在识别框架 $Θ$ 上基于BPA m的似然函数定义为：

P l (A) = \sum_{B \cap A \neq \emptyset} m (B)

信任区间

信任区间用于表示对某个假设的确认程度，比如假设A的信任区间被定义为 $[B e l (A), P l (A)]$ 。

我简单理解为A的嫌疑至少是其子集的概率之和，至多是其涉及集合的概率之和。（纯属写给自己看的，请忽略）

Dempster合成规则

Dempster's combinational rule，也叫做证据合成公式，定义如下：

对于 $\forall A \subseteq Θ$ ， $Θ$ 上的两个mass函数 $m_{1}, m_{2}$ 的Dempster合成规则为：

m_{1} ⨁ m_{2} (A) = \frac{1}{K} \sum_{B \cap C = A} m_{1} (B) \cdot m_{2} (C)

其中，

K

是 归一化常数：

K = \sum_{B \cap C \neq \emptyset} m_{1} (B) m_{2} (C) = 1 - \sum_{B \cap C = \emptyset} m_{1} (B) \cdot m_{2} (C)

对于

\forall A \subseteq Θ

，

Θ

上的有限个mass函数

m_{1}, m_{2}, \dots, m_{n}

的 Dempster合成规则为：

(m_{1} ⨁ m_{2} ⨁ \dots ⨁ m_{n}) (A) = \frac{1}{K} \sum_{A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \dots \cap A_{n} = A} m_{1} (A_{1}) \cdot m_{2} (A_{2}) \dots m_{n} (A_{n})

其中，

\begin{array}{ll} K & = \sum_{A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n} \neq \emptyset} m_{1} (A_{1}) \cdot m_{2} (A_{2}) \dots m_{n} (A_{n}) \\ = 1 - \sum_{A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n} = \emptyset} m_{1} (A_{1}) \cdot m_{2} (A_{2}) \dots m_{n} (A_{n}) \end{array}

步骤总结

运用D-S证据理论的形式一般是这样的。首先有一个假设空间，里面的每个元素代表一种情况。有 $n$ 个专家拿着不同的 $m$ 函数过来给每种情况的可能性打分，范围是 $[0, 1]$ ，符合前面所说的基本概率分配概念。然后就得到一个表格，这个表格可以经常在参考资料中看到。然后根据这个表格，可以计算出 $n$ 个专家融合的 $m$ 函数，使用这个函数给每种情况计算融合信任。一般计算过程如下：

根据Dempster合成规则计算 $K$
根据Dempster合成规则计算每种情况的融合信任
根据基本概念计算每种情况的信任区间，这里一般使用融合函数 $m$ 进行计算

暂时就这样了，如果对本文观点不放心，可以去看参考资料或者其他更加权威的资料。我日后会查看更多资料，更新本文。

例子

作者很懒，还没有写例子，可以看看参考资料或者网上其他资料的例子。

参考资料

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