Lyndon分解 從 Lyndon 到 Runs

Lyndon 相關知識是大毒瘤。

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目錄

• 1.一些定義
• 2.一些性質
• 3. Duval's Algorithm

1.一些定義

Lyndon Word：對於任意字符串 \(s\) 如果對任意后綴 \(S\)，有$ S>s$，那么稱 \(s\) 為Lyndon Word。

舉個例子：\(\texttt{abcdefg}\) 是 Lyndon Word，而 \(\texttt{gfedcba}\) 不是。

定義 \(\mathbb L\) 表示 Lyndon Word 構成的集合。

定義 \(\Sigma\) 表示字符集，組成的字符串為 \(\Sigma^*\)，組成的非空字符串為 \(\Sigma^+\)

Lyndon 分解：對於任意字符串 \(s\)，如果存在一組字符串 \(w_1,w_2,\cdots,w_k\)，滿足：

1. \(w_1w_2\cdots w_k=s\)；
2. \(\forall i,w_i\) 是 Lyndon Word；
3. \(w_1\ge w_2\ge w_3\cdots w_k\)；

則稱 \(\{w_i|1\le i\le k\}\) 為 \(s\) 的 Lyndon 分解，並記 \(\text{CFL}(s)=\{w_i|1\le i\le k\}\) 。

2.一些性質

1. 若 \(a,b\in \mathbb L\) ，且 \(a<b\) ，則 \(ab\in \mathbb L\)。
2. Lyndon 分解存在且唯一。
3. \(w_1\) 是最長的 Lyndon 前綴， \(w_k\) 是最長的 Lyndon 后綴。
4. \(s\) 的最小后綴是 \(w_k\)。
5. 如果 \(sc\) 是某個 Lyndon Word 的前綴，\(c\) 是單個字符，則對任意字符 \(d>c\)，有 \(sd\) 是 Lyndon Word。

3. Duval's Algorithm

下記 \((s)^k\) 表示 \(s\) 重復 \(k\) 次的結果，例如 \((\texttt{ab})^5=\texttt{ababababab}\) 。

維護三個變量 \(i,j,k\)，使得 \(s[1\dots i]=s_1s_2\dots s_g\) 是已經求得的 Lyndon 分解，且 \(s[i+1\dots k]=t^hv\)，其中 \(h>1\) 是尚未求出的 Lyndon 分解，使得 \(v\) 是 \(t\) 的真前綴，且 \(s_g>s[i+1\dots k]\)。令 \(j=k-h\)。

下分三種情況討論：

1. 若 \(s[k+1]=s[j+1]\)，則令 \(k\gets k+1\)，\(j\gets j+1\)，周期 \(h\) 保持不變。
2. 若 \(s[k+1]>s[j+1]\)，則根據性質五可得 \(vs[k+1]\) 是 Lyndon Word，