小波分解和小波包分解

這篇文章介紹了小波分解和小波包分解。

小波分解（wavelet transform）

小波

傅里葉變換的基本方程是sin和cos，小波變換的基本方程是小波函數(basic wavelet)，不同的小波在波形上有較大的差異，相似的小波構成一個小波族(family)。小波具有這樣的局部特性:只有在有限的區間內取值不為0。這個特性可以很好地用於表示帶有尖銳， 不連續的信號。

小波變換

α=WTf $$\alpha =W^{T}f$$

其中 α $\alpha$ 表示變換得到的小波系數，W是正交矩陣。 f $f$ 是輸入信號。

正交矩陣構造

特定的小波函數（basic wavelet）由一組特定的小波濾波系數(wavelet filter coefficients)構成。當選定了小波函數，其對應的那組小波濾波器系數就知道。用小波濾波器系數構造不同維度的低通濾波器和高通濾波器（下面的例子中W就是由這些系數構造出來的）。低通濾波器可以看作為一個平滑濾波器(smoothing filter)。這兩個濾波器，低通和高通濾波器，又分別被稱為尺度(scaling)和小波濾波器(wavelet filter)。一旦定義好了這兩個濾波器，通過遞歸分解算法(也稱為金字塔算法(pyramid algorithm),樹算法(tree algorithm)將得到水平多分辨率表示的信號。

樹算法

原始信號通過低通濾波器得到低頻系數 (approximate coefficients), 通過高通濾波器得到高頻系數（detail coefficients）。把第一層的低頻系數作為信號輸入，又得到一組approximate coefficients和detail coefficients。再把得到的approximate coefficients作為信號輸入，得到第二層的approximate coefficients和detail coefficients。以此類推，直到滿足設定的分級等級。最大的分解等級為 log2N $lo{g}_{2}N$.
用數學表達就是：
原始信號可看做0級低頻系數 a0=(f0,f1,...,fn) $a^0=(f_0,f_1,...,f_n)$;
那么 am=G∗am−1 $a^m=G\ast a^{m-1}$, dm=Ham−1 $d^m=H{a}^{m-1}$， G,H 分別表示低通濾波器和高通濾波器，用矩陣表示。

信號的重構

am−1=G∗am+H∗dm $$a^{m-1}=G^{\ast }{a}^m+H^{\ast }{d}^m$$

G∗ $G^{\ast }$, H∗ $H^{\ast }$為G,H 的共軛矩陣。

例子：使用Haar小波做離散小波變換

Haar小波是最簡單的小波函數。歸一化的小波濾波器系數只有兩個 c0=12−−√=0.7071 $c_0=\sqrt{\frac{1}{2}}=0.7071$, c1=−0.7071 $c_1=-0.7071$. 低通濾波器由0.7071，0.7071組成，高通濾波器由0.7071，-0.7071組成，用矩陣G和H表示，矩陣的維度由信號的長度決定。

分解的結果

小波包分解（wavelet packet transform）

簡單理解就是每一層分解得到的系數都要再分解，不像小波分解那樣只有低頻系數會再分解。同樣以Haar小波為例子。

分解結果

參考文獻 Walczak, B., and D. L. Massart. “Noise suppression and signal compression using the wavelet packet transform.” Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems 36.2 (1997): 81-94.