一 尺度函數與小波函數
基本尺度函數定義為：
，對其向右平移任意 k 個單位，構成函數族 
， 該函數族在 
空間中正交，證明如下：
1 
；
2 當 m 不等於 k 時，
函數族 
構成一組正交基，並形成 
子空間。在 
子空間中，任意函數均可表示為 
的線性組合，
。
將函數族 
構造寬度縮小一半，則可形成寬度為 
的一組正交基，
，同樣，該函數族在 空間中正交，並形成 
子空間。在 
子空間中，任意函數均可表示為 
的線性組合，
。
通過以上舉例可得：設 j 為非負整數，j 級函數子空間可表示為 
，其對應正交基包括：
，觀察 
中 
可有 
中 
線性組合（
中任意函數均可用 
中函數線性組合表達），則 
為 
得子空間。各個子空間之間存在如下關系：
。
使用不同子空間 
中尺度函數得線性組合，可以階梯近似任意連續函數。在噪聲濾除應用中，需要提取一些屬於 
（高頻信息）但不屬於 
（低頻信息）的方法，小波函數即描述了這部分信息，也即小波函數描述 
相對於 
的正交補空間。根據以上描述，小波函數應該滿足一些特性：
1 小波函數仍然位於 
空間中，則他應該是 
空間基函數的線性組合；
2 小波函數位於 
子空間中，則它應於 
正交。
空間的基本小波函數表示為：
，該函數位於 
空間，且與 
正交。同樣對小波函數向右平移 k 個單位，構成函數族：
，該函數族在 空間中正交。
空間的基本小波函數表示為：
，該函數族在 空間中正交。
使用尺度函數與小波函數，可以將 
空間中函數進行分解：
，其中 
為 空間中的小波函數，繼續以上分解，可得：
二 Haar分解
1 將函數離散化為 
，該函數位於 
空間中；
2 由於 
，可以將 
空間中該函數分解為 
（更平滑尺度函數） 與 
（小波函數），根據尺度函數與小波函數定義，有如下關系：
（根據圖形可驗證結論正確），進一步有：
；
3 觀察到 
分解方式不一致，需要將原函數改寫為：
；
4 對改寫后的 
分別使用更平滑尺度函數與對應小波函數再次改寫，有：
，整理得：
；
5 令 
，繼續分解直到 
，可得：
，其中，
為相應的小波分量。
三 Haar重構
1 函數被分解為 
， 其中，
；
2 
（根據圖形可驗證結論正確），進一步有：
3 
重構為 
；
4 
重構為 
；
5 
， 其中， 
由 
組合；
6 繼續重構 
與 
，直到重構 
。
參考資料 小波與傅里葉分析基礎 Albert Boggess & Francis J. Narcowich