Lyndon Word
定義：對於字符串\(s\)，若\(s\)的最小后綴為其本身，那么稱\(s\)為Lyndon串
等價性：\(s\)為Lyndon串等價於\(s\)本身是其循環移位中最小的一個
性質
任意字符串\(s\)都可以分解為\(s = s_1 s_2 \dots s_k\)，其中\(\forall s_i\)為Lyndon串且\(s_i \geqslant s_{i +1}\)。且這種分解方法是唯一的
- 存在性
引理1：若\(u, v\)為Lyndon串，且\(u < v\)，那么\(uv\)為Lyndon串
證明：
要證明\(uv\)為Lyndon串只需證明\(uv\)本身為其最小后綴，
我們可以把所有的后綴分為兩類，一類是由\(u\)的后綴加上\(v\)串的來，這部分的相對大小不會改變。
另一類是\(v\)串的后綴，因為\(v\)本身也是Lyndon串，我們只需證明\(v > uv\)，因為\(v > u\)，顯然成立
- 唯一性
證明：
設\(pre(s, i)\)表示串\(s\)中\(s[1 \dots i]\)所代表的前綴
若有兩種方案，取第一次不同的位置，設\(|s_i| > |s'_i|\)
令\(s_i = s'_i s'_{i + 1} \dots s'_{k} pre(s_{k + 1}, l)\)
反證法。根據定義，\(s_i < pre(s'_{k + 1}, l) \leqslant s'_{k + 1} \leqslant s'_i < s_i\)
矛盾
Duval算法
(下面內容抄襲並補充自參考資料2)
該算法可以在\(O(n)\)的時間內求出串\(s\)的Lyndon分解
引理2：若字符串\(v\)和字符\(c\)滿足\(vc\)是某個Lyndon串的前綴，則對於字符\(d>c\)有\(vd\)是Lyndon串
證明：和上面同樣的思路，對於\(d\)之前的后綴相對大小不會改變，之后的后綴只會變大
該算法中我們僅需維護三個變量\(i, j, k\)
\(s[1..i - 1] = s_1 s_2 \dots s_g\)是固定下來的分解，也就是\(\forall l \in [1, g] s_l\)是Lyndon串且\(s_l > s_{l + 1}\)
\(s[i .. k - 1] = t_1 t_2 \dots t_h v(h > 1)\) 是沒有固定的分解，滿足\(t_1\)是Lyndon串，且\(t_1 = t_2 = \dots = t_h\)，\(v\)是\(t_h\)的(可為空的)真前綴，且有\(s_g > s[i .. k - 1]\)
當前讀入的字符是\(s[k]\)，令\(j = k - |t_1|\)
分三種情況討論
-
當\(s[k] = s[j]\)時，周期\(k - j\)繼續保持
-
當\(s[k] > s[j]\)時，合並得到\(t_1 <- t_1 t_2 \dots t_h v s[k]\)是Lyndon串
-
當\(s[k] < s[j]\)時，\(t_1, t_2, \dots, t_h\)的分解被固定下來，算法從\(v\)的開頭處重新開始
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = (1 << 21) + 1;
char s[MAXN];
int main() {
scanf("%s", s + 1);
int N = strlen(s + 1), j, k;
for(int i = 1; i <= N;) {
j = i; k = i + 1;
while(k <= N && s[j] <= s[k]) {
if(s[j] < s[k]) j = i;
else j++;
k++;
}
while(i <= j) {
printf("%d ", i + k - j - 1);
i += k - j;
}
}
return 0;
}