做CF594E涉及的兩個知識點。以下字符串采用Python記法。
Lyndon分解
定義 $S$ 是Lyndon串，當且僅當對於任意有意義的正整數 $i$ 有 $S<S[i:]$.
定義 $S$ 的Lyndon分解是一個Lyndon串的序列 $s_1, s_2, \ldots, s_n$, 使得 $S=s_1s_2 \cdots s_n$ 並且 $s_1 \ge s_2 \ge \cdots \ge s_n$.
Lyndon分解存在且唯一。
不難發現，Lyndon分解可以這么得到：對於 $S$, 取最小的后綴 $S[i:]$, $S$ 的Lyndon分解，是在 $S[:i]$ 的Lyndon分解的最后加上一項 $S[i:]$ 得到的序列。
於是，Lyndon分解可以用后綴數組求，但是這樣太復雜了。
Lyndon分解的Duval算法：
設原字符串為 $S$. 逐個加入字符，設已能確定 $S[:i]$ 的Lyndon分解 $s_1, s_2, \ldots, s_n$ 為 $S$ 的Lyndon分解的前綴，再盡可能地擴充字符串 $S[i:k]$, 使得 $S[i:k]$ 具有Lyndon周期 $t$, 也就是說，$S[i:k]=(m \times t)u$, 其中 $m$ 是正整數，$t$ 是Lyndon串，$u$ 是 $t$ 的（可以為空的）真前綴。考慮加入字符 $S[k]$, 若 $k=|S|$ 則令 $S[k]=-\infty$.
- 若 $S[k]<S[k-|t|]$, 則 $S[i:k+1]$ 就沒有Lyndon周期了。不過此時 $S[:i+m|t|]$ 的Lyndon分解已確定，即在 $S[:i]$ 的Lyndon分解末尾添加 $m$ 個 $t$, 取新參數 $i \gets i+n|t|$ 重來。
- 若 $S[k]=S[k-|t|]$, 則 $t$ 也是 $S[i:k+1]$ 的Lyndon周期。
- 若 $S[k]>S[k-|t|]$, 則 $S[i:k+1]$ 的Lyndon周期是其本身。
實現上我們只需要維護 $i, k$ 以及 $j=k-|t|$. 代碼鏈接
擴充 $S[i:k]$ 的過程中 $i+k\le2|S|$ 且隨擴充總輪數遞增，因此該算法時間 $O(|S|)$, 除去輸入輸出只需要 $O(1)$ 額外空間，是一個非常簡短而高效的算法。
最小循環表示
最小循環表示，也就是對於字符串 $S$, 求出最小的 $T_i=S[i:]S[:i]$.
我們維護兩個決策 $i, j$, 滿足 $i<j$ 並且 $[0, i)$ 和 $(i, j)$ 中的整數都不是最優決策。
初始時，設 $i=0, j=1$.
我們通過枚舉比較求出 $T_i$ 和 $T_j$ 的最長公共前綴 $k$.
- 若 $T_i=T_j$, $T_i$ 即為最優解。這是因為 $S$ 以 $j-i$ 為循環節循環，而 $(i, j)$ 中任何整數都不是最優決策。
- 若 $T_i<T_j$, 說明 $[j, j+k]$ 內的整數不是最優決策，因為它總比 $[i, i+k]$ 內的對應決策劣，因此令 $j \gets j+k+1$. 上述性質未改變。
- 若 $T_i>T_j$, 同理令 $i \gets i+k+1$, 若此后 $i \ge j$ 則再令 $j \gets i+1$, 上述性質仍未改變。
當 $j \ge |S|$ 時，我們發現 $[0, i)$ 和 $(i, |S|)$ 中的整數都不可能為最小決策了，所以 $T_i$ 是唯一的最優解；否則重復此過程。
$i+j+k \le 3|S|$ 隨枚舉總次數遞增，因此該算法時間 $O(|S|)$, 除去輸入輸出只需要 $O(1)$ 額外空間，是一個非常簡短而高效的算法。
代碼：$n$（$n \le 3\times10^5$）項整數序列的最小循環表示。
不過這份代碼由於在OJ上刷常數榜，不僅加入了輸入輸出優化，還破環為鏈以節省取模的時間，空間略大。
1 #include <bits/stdc++.h> 2 char r[1<<25], *rc=r, w[1<<25], *wc=w; 3 int rd() { 4 int a; 5 bool b; 6 unsigned char c; 7 while(c=*rc++-48, c>9&c!=253); 8 b=(c==253); 9 for(a=b?0:c; (c=*rc++-48)<10; a=a*10+c); 10 return b?-a:a; 11 } 12 void wr(int v) { 13 char s[10], *p=s; 14 while(*p++=v%10+48, v/=10); 15 while(*wc++=*--p, p!=s); 16 } 17 const int N=3e5; 18 int n, x[2*N]; 19 int main() { 20 int i, j, k; 21 fread(r, 1, 1<<25, stdin); 22 n=rd(); 23 for(i=0; i<n; ++i) x[i]=rd(); 24 memcpy(x+n, x, n*sizeof(int)); 25 for(i=0, j=1, k=0; j<n&&k<n; ) { 26 int xi=x[i+k], xj=x[j+k]; 27 if(xi==xj) ++k; 28 else if(xi<xj) j+=k+1, k=0; 29 else { 30 i+=k+1, k=0; 31 if(i>=j) j=i+1; 32 } 33 } 34 for(k=0; k<n; ++k) wr(x[i+k]), *wc++=' '; 35 wc[-1]='\n'; 36 fwrite(w, 1, wc-w, stdout); 37 return 0; 38 }