對於很多數學和工程問題，我們常常需要使用到梯度、散度和旋度公式，而有的時候，雖然在使用這些公式，卻對他們其中的物理意義不甚清楚，這樣的后果是只能對公式死記硬背，但結果還是常常忘記。這篇文章便從這三大公式的本質入手，推導它們在三大經典坐標系下的形式，授以“捕魚”之道！
開始之前，我們先來回憶一下梯度公式的數學意義，它描述了函數在某點函數值增加最快的方向，它的模就等於函數在該點方向導數的最大值。用直觀的解釋就是，假設你現在位於一座山上，則這一點的梯度是在該點坡度（或者說斜度）最陡的方向，梯度的大小告訴我們坡度到底有多陡。
那么為什么梯度的方向就是函數增加最大的方向呢？證明過程十分簡單：
如果\(f(x,y,z)\)在點\(P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})\)可微，則函數在該點任意方向的\(e_{l}\)的方向導數為\(\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})cos\alpha + f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})cos\beta + f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})cos\gamma\)，其中\(cos\alpha、cos\beta、cos\gamma\)為\(l\)的方向余弦。
我們把上式看成兩個向量點積的形式，則變為
\[\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=(f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}) )\cdot(cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)) \]
又因為\(|(cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)|=1\)，所以，上面那個方向導數的最大值就是\(|(f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}) )|\)。要取得該最大值，就是將\(l\)的方向取成向量\((f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}) )\)的方向，而\((f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}) )\)恰恰是該點處梯度的方向，至此，我們便證明了梯度的方向就是函數值增加最大的方向。
笛卡爾坐標系下的梯度公式
在上面的推導過程中，我們已經得到了在笛卡爾坐標系下的梯度公式：
\[\bigtriangledown f(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k} \]
柱面坐標系下的梯度公式
柱面坐標系也是正交坐標系，可以看成是笛卡爾坐標系在空間重旋轉了一個角度得到的，根據笛卡爾坐標系下梯度公式的推導，我們可以很自然地想到柱面坐標系下的梯度就是\(f(x,y,z)\)在\(\vec{e_{r}}、\vec{e_{\theta}}、\vec{e_{z}}\)方向的偏導數組成的向量，也就是\((f_{\vec{e_{r}}},f_{\vec{e_{\theta}}},f_{\vec{e_{z}}})\)，接下來，我們只需推導這三個偏導數即可。
\[f_{\vec{e_{r}}} = \lim_{\bigtriangleup r->0}\frac{f+\bigtriangleup f - f}{r+\bigtriangleup r - r}=\frac{\partial f}{\partial r} \]
\[f_{\vec{e_{\theta}}} = \lim_{\bigtriangleup \theta->0}\frac{f+\bigtriangleup f - f}{r(\theta+\bigtriangleup\theta) -r\theta}=\frac{\partial f}{r\partial \theta} \]
\[f_{\vec{e_{z}}} = \lim_{\bigtriangleup z->0}\frac{f+\bigtriangleup f - f}{z+\bigtriangleup z - z}=\frac{\partial f}{\partial z} \]
於是，我們便得到了柱面坐標下的梯度公式：
\[\bigtriangledown f(r,\theta,z)=\frac{\partial f}{\partial r}\vec{e_r}+\frac{\partial f}{r\partial \theta}\vec{r_\theta}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e_z} \]
說明：梯度終究是一個由位移的偏導數組成的量，但是對\(\theta\)的偏導數並不是一個對位移的偏導數，所以其最后轉化成了弧長！
球面坐標系下的梯度公式
如果你能搞懂柱面坐標下的梯度公式是怎么來的話，球面坐標系下的梯度公式也不在話下了。
\[f_{\vec{e_{r}}} = \lim_{\bigtriangleup r->0}\frac{f+\bigtriangleup f - f}{r+\bigtriangleup r - r}=\frac{\partial f}{\partial r} \]
\[f_{\vec{e_{\theta}}} = \lim_{\bigtriangleup \theta->0}\frac{f+\bigtriangleup f - f}{r(\theta+\bigtriangleup\theta) -r\theta}=\frac{\partial f}{r\partial \theta} \]
\[f_{\vec{e_{\phi}}} = \lim_{\bigtriangleup \phi->0}\frac{f+\bigtriangleup f - f}{rsin\theta(\phi+\bigtriangleup \phi) - rsin\theta\phi}=\frac{\partial f}{rsin\theta\partial \phi} \]
這樣，我們也就得到了球面坐標系下的梯度公式：
\[\bigtriangledown f(r,\theta,\phi)=\frac{\partial f}{\partial r}\vec{e_r}+\frac{\partial f}{r\partial \theta}\vec{r_\theta}+\frac{\partial f}{rsin\theta\partial \phi}\vec{e_\phi} \]
