動態規划解決零錢兌換問題

題目如下：

定不同面額的硬幣 coins 和一個總金額 amount。編寫一個函數來計算可以湊成總金額所需的最少的硬幣個數。如果沒有任何一種硬幣組合能組成總金額，返回 -1。
例子：

輸入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
輸出: 3 
解釋: 11 = 5 + 5 + 1

輸入: coins = [2], amount = 3
輸出: -1

首先可以很自然的想到用遞歸去解決這個問題，用遞歸去遍歷各種兌換的可能性，在其中記錄下需要硬幣最少的次數，如 11可以被 11個一元硬幣兌換，也可以由兩個五元 一個一元3枚硬幣兌換。
遞歸式的編寫最重要的是結束條件，可以想到，在一次次循環中，當amount小於0時，代表着本次循環不能正確兌完硬幣，需要主動遞歸結束，開始下次循環。當amount等於0時，代表本次可以正確兌換，
自動跳出循環。

    public class CoinsWay {

    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub

    }
    int res=Integer.MAX_VALUE;
    
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        if(coins.length==0){
            return -1;
        }
        helper(coins,amount,0);
        if(res==Integer.MAX_VALUE){
            return -1;
        }
        return res;
    }
    public void helper(int[] coins,int amount,int count){
        if(amount<0){
            return;
        }
        if(amount==0){
            res=Math.min(res, count);
        }
        for(int i=0;i<coins.length;i++){
            helper(coins, amount-coins[i], count+1);
        }
    }

}

但是遞歸會讓導致計算重復的節點，如 【1，2，3】 amount=11，會導致下圖情況

我們對其進行優化，進行記憶化遞歸，記憶化遞歸就是將已運算的結果進行存儲，如上圖我們對剩9元進行存儲，在下次遍歷到剩9元硬幣時就可以直接返回結果，不必再次遍歷

public int coinChange2(int[] coins,int amount){
        if(amount<1) return 0;
        return helper2(coins,amount,new int[amount]);
    }
    public int helper2(int[] coins,int amount,int[] res){
        if(amount<0){
            return -1;
        }
        if(amount==0) return 0;
        if(res[amount-1]!=0){
            return res[amount-1];
        }
        int min=Integer.MAX_VALUE;
        for(int i=0;i<coins.length;i++){
            int ress=helper2(coins, amount-coins[i], res);
            if(ress>=0&&ress<min){
                min=ress+1;
            }
        }
        res[amount-1]=min==Integer.MAX_VALUE?-1:min;
        return res[amount-1];
    }

下面使用自底向上也就是動態規划，動態規划就是將前面計算的結果拿來給后面用，因此如何定義就是一個問題，在這個問題種，我們定義數組res【amount+1】，代表數組下標對應的硬幣元數所需的最小個數

    public int coinChange3(int[] coins,int amount){
        if(coins.length==0) return -1;
        //res數組代表 數組下標所對應的硬幣元數兌換需要最少的硬幣數 如res[9]代表9元硬幣時兌換所需最小硬幣書
        int[] res=new int[amount+1];
        //0元硬幣需要0個硬幣兌換
        res[0]=0;
        for(int i=0;i<res.length;i++){
            int min=Integer.MAX_VALUE;
            for(int j=0;i<coins.length;j++){
                if(i-coins[j]>=0&&res[i-coins[j]]<min){
                    min=res[i-coins[j]]+1;
                }
            }
            res[i]=min;
        }
        return res[amount]==Integer.MAX_VALUE?-1:res[amount];
        
    }

好了，硬幣兌換的問題就解決啦！