动态规划解决零钱兑换问题

题目如下：

定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
例子：

输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出: 3 
解释: 11 = 5 + 5 + 1

输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1

首先可以很自然的想到用递归去解决这个问题，用递归去遍历各种兑换的可能性，在其中记录下需要硬币最少的次数，如 11可以被 11个一元硬币兑换，也可以由两个五元 一个一元3枚硬币兑换。
递归式的编写最重要的是结束条件，可以想到，在一次次循环中，当amount小于0时，代表着本次循环不能正确兑完硬币，需要主动递归结束，开始下次循环。当amount等于0时，代表本次可以正确兑换，
自动跳出循环。

    public class CoinsWay {

    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub

    }
    int res=Integer.MAX_VALUE;
    
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        if(coins.length==0){
            return -1;
        }
        helper(coins,amount,0);
        if(res==Integer.MAX_VALUE){
            return -1;
        }
        return res;
    }
    public void helper(int[] coins,int amount,int count){
        if(amount<0){
            return;
        }
        if(amount==0){
            res=Math.min(res, count);
        }
        for(int i=0;i<coins.length;i++){
            helper(coins, amount-coins[i], count+1);
        }
    }

}

但是递归会让导致计算重复的节点，如 【1，2，3】 amount=11，会导致下图情况

我们对其进行优化，进行记忆化递归，记忆化递归就是将已运算的结果进行存储，如上图我们对剩9元进行存储，在下次遍历到剩9元硬币时就可以直接返回结果，不必再次遍历

public int coinChange2(int[] coins,int amount){
        if(amount<1) return 0;
        return helper2(coins,amount,new int[amount]);
    }
    public int helper2(int[] coins,int amount,int[] res){
        if(amount<0){
            return -1;
        }
        if(amount==0) return 0;
        if(res[amount-1]!=0){
            return res[amount-1];
        }
        int min=Integer.MAX_VALUE;
        for(int i=0;i<coins.length;i++){
            int ress=helper2(coins, amount-coins[i], res);
            if(ress>=0&&ress<min){
                min=ress+1;
            }
        }
        res[amount-1]=min==Integer.MAX_VALUE?-1:min;
        return res[amount-1];
    }

下面使用自底向上也就是动态规划，动态规划就是将前面计算的结果拿来给后面用，因此如何定义就是一个问题，在这个问题种，我们定义数组res【amount+1】，代表数组下标对应的硬币元数所需的最小个数

    public int coinChange3(int[] coins,int amount){
        if(coins.length==0) return -1;
        //res数组代表 数组下标所对应的硬币元数兑换需要最少的硬币数 如res[9]代表9元硬币时兑换所需最小硬币书
        int[] res=new int[amount+1];
        //0元硬币需要0个硬币兑换
        res[0]=0;
        for(int i=0;i<res.length;i++){
            int min=Integer.MAX_VALUE;
            for(int j=0;i<coins.length;j++){
                if(i-coins[j]>=0&&res[i-coins[j]]<min){
                    min=res[i-coins[j]]+1;
                }
            }
            res[i]=min;
        }
        return res[amount]==Integer.MAX_VALUE?-1:res[amount];
        
    }

好了，硬币兑换的问题就解决啦！