為什么樣本方差的分母是n-1？最簡單的原因，是因為因為均值已經用了n個數的平均來做估計在求方差時，只有(n-1)個數和均值信息是不相關的。而你的第ｎ個數已經可以由前(n-1)個數和均值 來唯一確定，實際上沒有信息量。所以在計算方差時，只除以(n-1)。
總體方差（variance）：總體中變量離其平均值距離的平均。一組數據
樣本方差（variance）：樣本中變量離其平均值距離的平均。一組數據
到這你可能會想：為什么樣本方差中分母是n-1而不是n？我們假設是n看看
樣本方差計算公式里分母為 
的目的是為了讓方差的估計是無偏的。
無偏的估計(unbiased estimator)比有偏估計(biased estimator)更好是符合直覺的，盡管有的統計學家認為讓mean square error即MSE最小才更有意義，這個問題我們不在這里探討；不符合直覺的是，為什么分母必須得是
而不是 
才能使得該估計無偏。
由此可得
是方差的一個無偏估計，注意式中的分母不偏不倚正好是！這個結果符合直覺，並且在數學上也是顯而易見的。
現在，我們考慮隨機變量
的數學期望是未知
的情形。這時，我們會傾向於無腦直接用樣本均值
替換掉上面式子中的
這樣做有什么后果呢？后果就是，如果直接使用
作為估計，那么你會傾向於低估方差。
那么，在不知道隨機變量真實數學期望的前提下，如何“正確”的估計方差呢？答案是把上式中的分母n換成n-1，通過這種方法把原來的偏小的估計“放大”一點點，我們就能獲得對方差的正確估計了：
至於為什么分母是n-1而不是n-2或者別的什么數，原因如下：
而
所以有
我們可以直觀的看到隨着樣本總量n的增加，樣本方差s會越來越接近總體方差。樣本方差等於總體方差減樣本均值的方差。如果用樣本均值去估計總體均值，對總體方差的估計是有偏差的，偏差是樣本均值的方差。需要做Bessel's correction去修正偏差，讓偏差的期望等於0。
當n很大的時候，其實除以n和除以n-1的區別並不大。隨着樣本的增多，兩者都會收斂到真實的總體方差。方差是協方差的特殊情況，就是當兩個變量x與y相等時候的情況。既然我們已經知道樣本方差為什么是除以n-1。那么樣本協方差也是一樣的道理。
總結一下：
- 分母是m-1的情況下，估計值是總體方差的無偏估計
- 分母是m的情況下，值是最大似然估計
- 分母是m+1的情況下，值是最小MSE（Mean Squared Error) 的估計
如果覺得樣本夠大，那么用m-1是不錯的，因為在大樣本下，參數的方差就算大一點兒也不會多多少，影響也不會大到哪兒去。
如果要保證信息利用充分，那我肯定選擇最大似然估計的方差。如果樣本數量較小，我就選擇最小MSE，因為此時無偏性其實不是第一准則，因為無偏導致了大方差是不可取的行為。
參考資料:
作者：圖靈的貓
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來源：知乎
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