Q：給定一個只包含正整數的非空數組。是否可以將這個數組分割成兩個子集，使得兩個子集的元素和相等。
注意:
每個數組中的元素不會超過 100
數組的大小不會超過 200
示例 1:
輸入: [1, 5, 11, 5]
輸出: true
解釋: 數組可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].
示例 2:
輸入: [1, 2, 3, 5]
輸出: false
解釋: 數組不能分割成兩個元素和相等的子集.
A：01背包問題
1.引用：經典動態規划：0-1背包問題的變體
那么對於這個問題，我們可以先對集合求和，得出sum，把問題轉化為背包問題：
給一個可裝載重量為sum/2的背包和N個物品，每個物品的重量為nums[i]。現在讓你裝物品，是否存在一種裝法，能夠恰好將背包裝滿？
第一步要明確兩點，「狀態」和「選擇」。
狀態就是「背包的容量」和「可選擇的物品」，選擇就是「裝進背包」或者「不裝進背包」。
第二步要明確dp數組的定義。
按照背包問題的套路，可以給出如下定義：
dp[i][j] = x表示，對於前i個物品，當前背包的容量為j時，若x為true，則說明可以恰好將背包裝滿，若x為false，則說明不能恰好將背包裝滿。
比如說，如果dp[4][9] = true，其含義為：對於容量為 9 的背包，若只是用前 4 個物品，可以有一種方法把背包恰好裝滿。
或者說對於本題，含義是對於給定的集合中，若只對前 4 個數字進行選擇，存在一個子集的和可以恰好湊出 9。
根據這個定義，我們想求的最終答案就是dp[N][sum/2]，base case 就是dp[..][0] = true和dp[0][..] = false，因為背包沒有空間的時候，就相當於裝滿了，而當沒有物品可選擇的時候，肯定沒辦法裝滿背包。
第三步，根據「選擇」，思考狀態轉移的邏輯。
回想剛才的dp數組含義，可以根據「選擇」對dp[i][j]得到以下狀態轉移：
如果不把nums[i]算入子集，或者說你不把這第i個物品裝入背包，那么是否能夠恰好裝滿背包，取決於上一個狀態dp[i-1][j]，繼承之前的結果。
如果把nums[i]算入子集，或者說你把這第i個物品裝入了背包，那么是否能夠恰好裝滿背包，取決於狀態dp[i - 1][j-nums[i-1]]。
首先，由於i是從 1 開始的，而數組索引是從 0 開始的，所以第i個物品的重量應該是nums[i-1]，這一點不要搞混。
dp[i - 1][j-nums[i-1]]也很好理解：你如果裝了第i個物品，就要看背包的剩余重量j - nums[i-1]限制下是否能夠被恰好裝滿。
換句話說，如果j - nums[i-1]的重量可以被恰好裝滿，那么只要把第i個物品裝進去，也可恰好裝滿j的重量；否則的話，重量j肯定是裝不滿的。
這里引用一下別人給的圖片：
代碼：
public boolean canPartition(int[] nums) {
if (nums.length <= 1)
return false;
int sum = 0;
for (int i : nums)
sum += i;
if (sum % 2 != 0)
return false;
sum /= 2;
int N = nums.length;
boolean[][] dp = new boolean[N + 1][sum + 1];
for (int i = 0; i <= N; i++) {
dp[i][0] = true;
}
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = 1; j <= sum; j++) {
if (j - nums[i - 1] < 0) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
} else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i - 1]];
}
}
if(dp[i][sum])
return true;//剪枝
}
return dp[N][sum];
}
2.從后向前遍歷法：
“狀態數組”從二維降到一維，減少空間復雜度。在“填表格”的時候，當前行總是參考了它上面一行 “頭頂上” 那個位置和“左上角”某個位置的值。因此，我們可以只開一個一維數組，從后向前依次填表即可。“從后向前” 寫的過程中，一旦 nums[i] <= j 不滿足，可以馬上退出當前循環，因為后面的 j 的值肯定越來越小，沒有必要繼續做判斷，直接進入外層循環的下一層。相當於也是一個剪枝，這一點是“從前向后”填表所不具備的。
這個還是可以聯系上面的動態規划手寫結果對照看：
public boolean canPartition(int[] nums) {
if (nums.length <= 1)
return false;
int sum = 0;
for (int i : nums)
sum += i;
if (sum % 2 != 0)
return false;
sum /= 2;
int N = nums.length;
boolean[] dp = new boolean[sum + 1];
dp[0] = true;
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = sum; nums[i] <= j; j--) {
if (dp[sum])
return true;//同樣也是剪枝
dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[sum];
}