完全二叉樹

完全二叉樹是一種特殊的二叉樹，滿足以下要求：

1. 所有葉子節點都出現在 k 或者 k-1 層，而且從 1 到 k-1 層必須達到最大節點數；

2. 第 k 層可以不是滿的，但是第 k 層的所有節點必須集中在最左邊。 
   需要注意的是不要把完全二叉樹和“滿二叉樹”搞混了，完全二叉樹不要求所有樹都有左右子樹，但它要求：

3. 任何一個節點不能只有右子樹沒有左子樹

4. 葉子節點出現在最后一層或者倒數第二層，不能再往上

用一張圖對比下“完全二叉樹”和“滿二叉樹”：

當我們用數組實現一個完全二叉樹時，葉子節點可以按從上到下、從左到右的順序依次添加到數組中，然后知道一個節點的位置，就可以輕松地算出它的父節點、孩子節點的位置。

以上面圖中完全二叉樹為例，標號為 2 的節點，它在數組中的位置也是 2，它的父節點就是 (k/2 = 1)，它的孩子節點分別是 (2k=4) 和 (2k+1=5)，別的節點也是類似。

完全二叉樹使用場景：

根據前面的學習，我們了解到完全二叉樹的特點是：“葉子節點的位置比較規律”。因此在對數據進行排序或者查找時可以用到它，比如堆排序就使用了它，后面學到了再詳細介紹。

二叉查找樹

二叉樹的提出其實主要就是為了提高查找效率，比如我們常用的 HashMap 在處理哈希沖突嚴重時，拉鏈過長導致查找效率降低，就引入了紅黑樹。

我們知道，二分查找可以縮短查找的時間，但是它要求 查找的數據必須是有序的。每次查找、操作時都要維護一個有序的數據集，於是有了二叉查找樹這個概念。

二叉查找樹（又叫二叉排序樹），它是具有下列性質的二叉樹：

1. 若左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於它的根結點的值；

2. 若右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於或等於它的根結點的值；

3. 左、右子樹也分別為二叉排序樹。

如下圖所示： 

 

也就是說，二叉查找樹中，左子樹都比節點小，右子樹都比節點大，遞歸定義。

根據二叉排序樹這個特點我們可以知道：二叉排序樹的中序遍歷一定是從小到大的。

比如上圖，中序遍歷結果是：

1 3 4 6 7 8 10 13 14

二叉排序樹的性能

在最好的情況下，二叉排序樹的查找效率比較高，是 O(logn)，其訪問性能近似於折半查找；

但最差時候會是 O(n)，比如插入的元素是有序的，生成的二叉排序樹就是一個鏈表，這種情況下，需要遍歷全部元素才行（見下圖 b）。

 

如果我們可以保證二叉排序樹不出現上面提到的極端情況（插入的元素是有序的，導致變成一個鏈表），就可以保證很高的效率了。

但這在插入有序的元素時不太好控制，按二叉排序樹的定義，我們無法判斷當前的樹是否需要調整。

因此就要用到平衡二叉樹（AVL 樹）了。

平衡二叉樹

平衡二叉樹的提出就是為了保證樹不至於太傾斜，盡量保證兩邊平衡。因此它的定義如下：

1. 平衡二叉樹要么是一棵空樹

2. 要么保證左右子樹的高度之差不大於 1

3. 子樹也必須是一顆平衡二叉樹

也就是說，樹的兩個左子樹的高度差別不會太大。

那我們接着看前面的極端情況的二叉排序樹，現在用它來構造一棵平衡二叉樹。

以 12 為根節點，當添加 24 為它的右子樹后，根節點的左右子樹高度差為 1，這時還算平衡，這時再添加一個元素 28：

這時根節點 12 覺得不平衡了，我左孩子一個都沒有，右邊都有倆了，超過了之前說的最大為 1，不行，給我調整！

於是我們就需要調整當前的樹結構，讓它進行旋轉。

因為最后一個節點加到了右子樹的右子樹，就要想辦法給右子樹的左子樹加點料，因此需要逆時針旋轉，將 24 變成根節點，12 右旋成 24 的左子樹，就變成了這樣（有點丑哈哈）：

這時又恢復了平衡，再添加 37 到 28 的右子樹，還算平衡：

這時如果再添加一個 30，它就需要在 37 的左子樹：

這時我們可以看到這個樹又不平衡了，以 24 為根節點的樹，明顯右邊太重，左邊太稀，想要保持平衡就 24 得讓位給 28，然后變成這樣：

丑了點，但的確保持了平衡。

依次類推，平衡二叉樹在添加和刪除時需要進行旋轉保持整個樹的平衡，內部做了這么復雜的工作后，我們在使用它時，插入、查找的時間復雜度都是 O(logn)，性能已經相當好了。

總結

閱讀完這篇文章，相信你對“完全二叉樹、二叉查找樹和平衡二叉樹”這三個二叉樹有了更加深刻的認識，有了這個基礎，再去看 B+ B- 紅黑樹，就相對容易些了，后面有機會的話我再寫兩篇這種的。