完全二叉樹的高度為什么是對lgN向下取整

完全二叉樹的高度為什么是對lgN向下取整呢？

說明一下這里的高度：只有根節點的樹高度是0。

設一棵完全二叉樹節點個數為N，高度為h。所以總節點個數N滿足以下不等式：

1 + 2¹ + 2² +……+ 2^h-1 < N <= 1 + 2¹ + 2² +……+ 2^h 即 2^h - 1 < N <= 2^h+1 - 1，所以 2^h < N+1 <= 2^h+1，兩邊同取以2為底的對數得 h < log₂(N+1) <= h+1。

---

若 N+1 = 2^k ，此時完全二叉樹為滿二叉樹，解上述不等式得 h < k <= h+1，所以 k-1 <= h < k，所以 h = k-1。而 log₂N = log₂(2^k -1)，又因為比 2^k -1 小且離其最近的2的冪是 2^k-1 ，

所以 log₂N> log₂(2^k-1) = k-1，因此對 log₂N 向下取整即為 k-1，即二叉樹的高度等於對 log₂N 向下取整。

---

若 N+1 不等於2的冪，設2^k-1 < N+1 < 2^k，所以 k-1 < log₂(N+1) < k，所以 k-2 < h < k，所以 h = k-1。設此時對應的滿二叉樹節點數為N₀，所以 k-1 = 對log₂N₀向下取整，

h = k-1 也等於對log₂N₀向下取整。因為 N > 2^k-1 -1，即 N >= 2^k-1，N₀ <= 2^k -1，所以對log₂N₀向下取整等於對 log₂N 向下取整。所以二叉樹的高度等於對 log₂N 向下取整。

---

證畢。