計算時間復雜度例題

引言

算法是程序的靈魂，想學好算法就必須先搞懂時間復雜度
算時間復雜度就是算基本語句條數
5個計算時間復雜度基礎例題

例題一

for(int i=0; i<n; i++){
    for(int j=i; j<n; j++){
        System.out.println("執行一次");
    }
 }

i=0時，j=0，j循環執行n次
i=1時，j=1，j循環執行n-1次
i=2時，j=2，j循環執行n-2次
推廣到
i=n-1時，j=n-1，j循環執行1次
Sn=n+n-1+n-2+...+1=n×(n+1)/2
時間復雜度為：O(n²)

例題二

i=0;
while((i+1)*(i+1)<=n){
   i++;
}

第1次，i=1
第2次，i=2
推廣到
第x次，i=x
設第x次退出循環，則(i+1)×(i+1)>n
x=i>(√n)-1 次
時間復雜度為：O(√n)

例題三

int i=1;
while(i<n){
  i = i*2;
}

第1次：i=21
第2次：i=22
第3次：i=23
......
第x次：i=2x
設第x次退出循環，則有i=2x ≥ n
取對數解得x=logn，共執行logn次
時間復雜度為：O(logn)

例題四

for(int i=1; i<=n; i++){
    for(int j=1; j<=i; j++){
        for(int k=1; k<=j; k++){
            System.out.println("執行一次");
        }
    }
}

粗略的估計:
最外層i循環n次，j循環最壞的情況執行n次，k循環最壞的情況也執行n次，即時間復雜度為O(n³)
詳細計算:
i=1時，j、k循環都只執行一次，輸出語句執行1次
i=2時，j循環[1,2]執行2次，每一次分別有一個k循環，分別是[1,1]、[1,2]輸出語句執行1+2次
i=3時，j循環[1,3]執行3次，每一次分別有一個k循環，分別是[1,1]、[1,2]、[1,3]輸出語句執行1+2+3次
可以推廣到
i=n時，j循環[1,n]執行n次，每一次分別有一個k循環，分別是[1,1]、[1,2]......[1,n]輸出語句執行1+2+......+n次
總共:Sn=(1)+(1+2)+(1+2+3)+......+(1+2+3+...+n)
1~n項和取n²放大一點看就是n個這樣的n²相加，即n³
時間復雜度為：O(n³)

例題五

for(int i=0; i<n; i++){
    for(int j=2*i; j<n; j++){
        System.out.println("執行一次");
    }
}

粗略的估計
i=0時，j=0，內循環n次
即時間復雜度為O(n²)
詳細計算
i=0時，j=0，[0,n)內循環n次
i=1時，j=2，[2,n)內循環n-2次
i=2時，j=4，[4,n)內循環n-4次
推廣到
i=(n/2)-1，j=n-2，[n-2,n)內循環2次
i=n/2時，j=n，跳出循環
綜上Sn=n+n-2+n-4+...+2
共n/2項，首項為n，公差-2
Sn=(((n/2)×[(n/2)-1)]×(-2)/2) + (n/2)×n
輸出語句執行了(n²+2n)/4次
時間復雜度為：O(n²)

總結

一定要學會算時間復雜度
很重要
很重要
很重要