大O法時間復雜度計算

 

困惑的點——log，如何計算得出？

 

① 上限：用來表示該算法可能有的最高增長率。

 

② 大O表示法：如果某種算法的增長率上限（最差情況下）是f(n)，那么說這種算法“在O(f(n))中”。n為輸入規模。

 

上限的精確定義：對非負函數T(n)，若存在兩個正常數c和n0，對任意n>n0，有T(n)<cf(n)，則稱T(n)在集合O(f(n))中。

——T(n)表示算法的實際運行時間；

——f(n)是上限函數的一個表達式。

 

我們總是試圖給算法的時間代價找到一個最“緊”（即最小）的上限，因此一般說順序搜索法在O（n）中，而不是等於，因為也可以說它在O（n²）中。可以理解為O為上限的集合？

 

幾個例子：

 

①

sum=0;

for(i=1;i<=n;i++)

 sum+=n;

for循環執行，時間代價為O（n）。

 

②

sum=0;

for(i=1;i<=n;i++)

 for(j=1;j<=i;j++)

 sum+=n;

內層循環執行i次，外層執行n次，但是每一次內層循環的時間代價都因i的變化而不同。可以看到，第一次執行外層循環時i=1，第二次執行時i=2。每執行一次外層循環，i就以1的步長遞增，直至最后一次i=n。因此，總的時間代價是從1累加到n，即 ，總運行時間為O（c₃n²+c₂n+c₁），可化簡為O（n²）。

 

③ 雙重循環如排序，時間代價也為O（n²），只不過運行時間為第二個程序的兩倍。上例中c3為1/2。

 

④

sum=0;

       for (k=1;k<=n;k=k*2)    //Do log n times;

         for (j=1;j<=n;j++)       // Do n times;

         {

                sum++;

         }

 

內層循環執行次數恆為n。設外層循環執行次數為i，則循環結束時2^i-1=n，i為logn，所以總時間代價為nlogn。

 

 

⑤

     sum=0;

       for (k=1;k<=n;k=k*2)    //Do log n times;

         for (j=1;j<=k;j++)       // Do k times;

         {

                sum++;

         }

外層循環同上，依舊是logn次，但內層循環次數為k，每次都隨着外層循環變量k值的變化而變化。設外層循環執行第i次，則k=2^i-1，即內層執行2^i-1次。外層執行一次內層執行2⁰次，外層執行兩次內層2¹，一共執行2⁰+2¹次，以此類推總的執行次數為 ，最終可化簡為O（n）。

 

 

 

關於大O法可參考：https://blog.csdn.net/yuhk231/article/details/60099774