一、卡方分布
1. 定義
設 X1..Xn是服從標准正態分布的隨機變量，則稱統計量
服從自由度為n的卡方分布（標准正態分布隨機變量的平方和），記為
，其中v稱為自由度。
卡方分布期望和方差：
。
2. 外形（取決於自由度）
3. 
統計量計算
, 
為實際頻數，
為期望頻數。
4. 分布的兩個主要用途
分布主要用於檢查實際結果與期望結果之間是否存在顯著差別。
- 檢驗擬合優度，檢驗一組給定的數據與指定分布的吻合程度
- 檢驗兩個變量的關聯性
二、卡方檢驗
1. 利用分布進行假設檢驗步驟
- 確定H0和H1
- 計算期望頻數和自由度
- 通過自由度和顯著水平確定拒絕域
- 計算檢驗統計量
- 查看統計量是否位於拒絕域內
2. 自由度v
自由度值 = 獨立的期望頻數 - 限制條件數 = （行數-1）* （列數-1）
3. 計算拒絕域
分布進行檢驗為單側檢驗，右側作為拒絕域，臨界值 = 
(查表可得)
4. 計算統計量
5. 查看統計量是否位於拒絕域內
若統計量位於臨界值內或者p值小於顯著性水平，則有充分利用拒絕H0。
三、例題
1. 下表列出某骰子的觀察頻數，查看這些數據，並以1%的顯著性水平進行檢驗，檢驗是否有足夠正確說明骰子不公正。（擬合優度，檢驗一組數據與指定分布的吻合程度）
| 數值 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 頻數 | 107 | 198 | 192 | 125 | 132 | 248 |
第一步：確定H0 H1
H0：骰子公正，即每面概率為1/6。
H1：骰子不公正
第二步：計算期望頻數和自由度
| 數值 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 期望頻數 | 167 | 167 | 167 | 167 | 167 | 167 |
自由度 = 6-1=5
第三步：確定拒絕域
顯著性水平 = 0.01 ，自由度 = 5，則
= 15.09，於是拒絕域為>15.09的范圍。
第四步：計算檢驗統計量
= 88.24
第五步：查看統計量是否位於拒絕域內
由於=88.24>15.09，所以統計量位於拒絕域內。
第六步：做出決策
在顯著性水平為1%的情況下，有足夠理由拒絕原假設。
2.我們想知道不吃晚飯對體重下降有沒有影響，顯著性水平=0.05（檢驗變量之間的相關性）
| 體重下降 | 體重未下降 | 合計 | 體重下降率 | |
| 吃晚飯組 | 123 | 467 | 590 | 20.85% |
| 不吃晚飯組 | 45 | 106 | 151 | 29.80% |
| 合計 | 168 | 573 | 741 | 22.67% |
第一步：確定H0 H1
H0：不吃晚飯對體重下降沒有影響，即吃不吃晚飯的體重下降率相等；
H1：不吃晚飯對體重下降有顯著影響，即吃不吃晚飯的體重下降率不相等
第二步：計算期望頻數和自由度
| 體重下降 | 體重未下降 | 合計 | |
| 吃晚飯 | 133.765 | 456.234 | 590 |
| 不吃晚飯 | 34.2348 | 116.765 | 151 |
| 合計 | 168 | 573 | 741 |
自由度 = (2-1)(2-1) = 1
第三步：計算拒絕域
顯著性水平=0.05 ，自由度 = 1，則
= 3.84
第四步：計算檢驗統計量
= 5.498
第五步：查看統計量是否位於拒絕域內
由於 = 5.498>3.84，統計量位於拒絕域內，有理由拒絕H0，認為不吃晚飯對體重下降有顯著影響。
2020-05-16 15：41