卡方分布

1.1      定義

設 X₁,X₂,......X_n相互獨立, 都服從標准正態分布N(0,1), 則稱隨機變量χ²=X₁²+X₂²+......+X_n²所服從的分布為自由度為 n 的χ2分布.^[1] 

卡方分布的 期望E（χ²）=n，方差D(χ²)=2n。

 

 卡方分布：若n個相互獨立的隨機變量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服從標准正態分布N（0,1）（也稱獨立同分布於標准正態分布），則這n個服從標准正態分布的隨機變量的平方和構成一新的隨機變量，其分布規律稱為 分布（chi-squaredistribution）。其中參數n稱為自由度（通俗講，樣本中獨立或能自由變化的自變量的個數，稱為自由度），正如正態分布中均值或方差不同就是另一個正態分布一樣，自由度不同就是另一個分布。記為 分布的均值為自由度 n，記為 E() = n；分布的方差為2倍的自由度(2n)，記為 D() = 2n。

 

從分布圖可以看出：分布在第一象限內，卡方值都是正值，呈正偏態（右偏態），隨着參數 n 的增大，分布趨近於正態分布；隨着自由度n的增大，分布向正無窮方向延伸（因為均值n越來越大），分布曲線也越來越低闊（因為方差2n越來越大）。