假設檢驗

假設檢驗是先對總體參數進行提出某種假設的前提下，利用樣本信息判斷假設是否成立。

 

假設檢驗中基本概念

原假設和備擇假設

原假設，用H0表示。原假設一般是統計者想要拒絕的假設。

備擇假設，用H1表示。備則假設是統計者想要接受的假設。

為什么統計者想要拒絕的假設設置為原假設呢？這是由於若原假設被拒絕如果出錯的話，只能犯第I類（棄真）錯誤，而犯第I類錯誤的概率已經被規定的顯著性水平𝞪所控制。

 

假設檢驗的兩類錯誤

第Ⅰ類錯誤（棄真錯誤）：當原假設為真時拒絕原假設。犯第Ⅰ類錯誤的概率通常記為α（顯著性水平）。

第Ⅱ類錯誤（納偽錯誤）：當原假設為假時接受原假設。犯第Ⅱ類錯誤的概率通常記為β。

	接受H0	拒絕H0
H0為真	正確決策	第Ⅰ類錯誤
H0為假	第Ⅱ類錯誤	正確決策

發生第Ⅰ類錯誤的概率：如果發生棄真錯誤，那么一定是拒絕了原假設（樣本結果位於拒絕域內），拒絕域由檢驗水平決定，如果顯著性水平為α，則發生棄真錯誤的概率為α。

 

檢驗統計量：根據實際情況，用於假設檢驗計算的統計量，在H0條件下，統計量服從特定的概率分布。

 

拒絕域：若樣本觀測結果位於拒絕域內，則具有充分理由拒絕H0。若樣本觀測結果位於拒絕域內，則不拒絕H0。拒絕域取值由顯著性水平和統計量分布決定。

 

顯著性水平：規定的小概率α，由於小概率事件在一次試驗中很難發生，所以若小概率事件發生了，即p值小於α、樣本觀測值位於拒絕域內，則具有充分理由拒絕H0。

 

p值：樣本觀測值在拒絕域方向的概率，利用樣本進行計算，判定p值是否小於顯著性水平即樣本結果是否在拒絕域內。

 

檢驗形式

（1）單側檢驗

通過備擇假設確定左右側，若備擇假設為<，則使用左側，若備擇假設為>，則使用右側。

 

（2）雙側檢驗

拒絕域一分為二位於數據集的兩側，選擇顯著性水平，將拒絕域一分為二，兩側概率各占α/2。

若備擇假設包含不等號≠，需要使用雙側檢驗。

 

 

 

假設檢驗步驟

• 確定要進行檢驗的假設H0 H1
• 選擇檢驗統計量
• 通過顯著性水平確定拒絕域
• 求出檢驗統計量p值
• 查看樣本結果是否位於拒絕域內
• 作出決策

 

例題：

制葯廠宣傳某葯品治愈率能達到90%，醫生隨機抽取了100位病人，只有80人檢測被治愈，還有20位病人未被治愈，我們通過假設檢驗來看下制葯廠的說明是否值得信任。

 

1. 確定假設

H0：p = 0.9

H1：p < 0.9

 

2. 選擇統計量

檢驗統計量 表示樣本中治愈人數，在H0的條件下， 服從二項分布  ~B（100，0.9），二項分布中np、nq均大於5，可用正態分布替代二項分布。

則新檢驗統計量  服從正態分布  ~N（np，npq） ~N（90，9），標准化正態分布可得新檢驗統計量  。

 

3. 拒絕域

通過備擇假設確定檢驗形式，本題中由於p < 0.9，所以拒絕域位於左側，在我們已知檢驗統計量后，利用顯著性水平計算拒絕域。

α = 5% ,所以p(Z < c)  = 0.05 ,通過查表可得c = -1.64， c代表拒絕域臨界點，拒絕域位於臨界點左側， 只要樣本檢驗統計量小於c，則有充分理由拒絕H0。

 

4. 求p值

p值是樣本觀測值在拒絕域方向的概率。

題目中 治愈人數 = 80，則標准分為 -3.33。

p值計算 = p（Z < -3.33） = 0.0004

 

5. 查看檢驗統計量是否位於拒絕域內

方法1. p值0.0004小於顯著性水平0.05

方法2. 樣本觀測值-3.33位於臨界點左側（拒絕域內）

 

6. 做出決策

在顯著性水平為5%的情況下，有充分利用拒絕原假設。

 

 

2020-05-15 15：43