假設檢驗（Hypothesis Testing）

假設檢驗（Hypothesis Testing）

1. 什么是假設檢驗呢？

　　假設檢驗又稱為統計假設檢驗，是數理統計中根據一定假設條件由樣本推斷總體的一種方法。

　　什么意思呢，舉個生活中的例子：買橘子（借用http://www.360doc.com/content/16/0617/08/31718185_568436468.shtml）

　　當我們去買橘子的時候，無論甜不甜，老板都會說：“挺甜的，不信拿一個嘗嘗”。我們隨手拿一個（這就相當於抽樣），此時我們對於這些橘子甜或不甜的判斷全基於這個橘子（樣本），為什么不拿總體來判斷呢？老板能讓你把橘子都吃一遍？（大多數情況下無法直接對總體進行判斷）。當我們吃到的橘子是甜的，我們會想，隨便拿一個就是甜的，那么這些橘子大部分都是甜的；當我們吃到的是酸的，我們會想，隨便拿一個就是酸的，我運氣有那么不好嗎，肯定是大部分橘子都是酸的。

　　假設檢驗就是對總體（全部橘子）提出假設（甜或不甜），然后通過樣本（隨便拿一個橘子）進行統計計算，來推斷假設是否成立的一種方法。

2.假設檢驗的依據是什么呢？

　　假設檢驗重要的依據是人們的一條普遍經驗，即小概率事件在一次實驗中很難發生，如果一旦發生，就認為原來的假設不成立，從而拒絕H₀。

　　例如, 某彩票抽獎處聲稱該彩票中獎概率為p(A) = 99.99%，現在我們做出如下假設

　　若假設H₀正確，則抽獎一次不中獎的概率為0.01%，這是一個小概率事件。那么我們通過抽獎一次，來檢驗該假設。

 

　　假設檢驗的基本思想：先對總體的參數或分布函數的表達式作出某種假設，然后構造出一個在假設成立下出現可能性甚小的事件（即小概率事件）。如果試驗或抽樣的結果使該小概率事件出現了，這與小概率事件原理相違背，表明原來的假設有問題，應予以否定，即拒絕這個假設；若該小概率事件在一次試驗或抽樣中並未出現，就沒有理由否定這個假設，表明試驗或抽樣結果支持這個假設，這時假設與實驗結果是一致的，或者說可以接受這個假設。

　　但是，我們要注意的是：在假設檢驗中“拒絕”和“接受”反映了決策者在所面對的樣本證據下，對該命題所采取的一種態度、傾向性，而不是在邏輯上“證明”該命題正確與否！又回到剛開始買橘子的例子，我們在拿一個嘗過后，對所有橘子下的結論（大部分是甜的或者大部分是酸的）都是我們的主觀猜想，而非客觀事實。

3.怎么做假設檢驗呢？

　　假設檢驗的一般步驟為：

　　（I）跟據實際問題提出零假設（H₀）與備擇假設（H₁）；

　　（II）選擇合適的檢驗統計量，並確定在H₀為真時的分布；

　　（III）給定顯著性水平α，確定臨界點，得到接受域和否定域；

　　（IV）計算檢驗統計量的樣本值；

　　（V）做出判斷，若值落在否定域，則拒絕H₀；若落在接受域，則在所選擇的顯著性水平上，不能拒絕H₀。

假設

　　我們將對總體提出的某種假設稱為零假設（也稱原假設），記為H₀；將與原假設矛盾的假設稱為備擇假設（也稱對立假設），記為H₁.

　　零假設是一種無差別假設，表示要被拒絕的目的。備擇假設是與H₀相反的結論。若H₀被拒絕，H₁就可能被接受。比如，研究兩種葯物對治療同一種疾病的效果不同。這個結論就是要研究的假設，為了檢驗該假設，我們假設用μ表示葯物對疾病的治療效果，寫出原假設H₀：μ₁ = μ₂（相同的治療效果）；備擇假設H₁：μ₁ ≠ μ₂（不同的治療效果）。如果得到的信息拒絕H₀，則可以接受H₁，即兩種葯物對同一疾病的治療效果是不同的。

　　H₁的敘述是由研究假設的性質確定的。若研究假設只是考察兩個事物有差異，則備擇假設H₁：μ₁ ≠ μ₂；若考察其差值的方向，則H₁或者為μ₁  > μ₂，或者為μ₁  < μ₂。

　　我們稱形如

H₀ : μ₁ = μ₂ , H₁ : μ₁ ≠ μ₂

的假設檢驗為雙邊檢驗；

形如

H₀ : μ₁ ≥ μ₂ , H₁ : μ₁ < μ₂

的假設檢驗為左邊檢驗；

形如

H₀ : μ₁ ≤ μ₂ , H₁ : μ₁ > μ₂

的假設檢驗為右邊檢驗。

　　左邊檢驗和右邊檢驗統稱為單邊檢驗。

顯著性水平

　　前面說到假設檢驗的依據是小概率事件原理，但是，很難發生並不等於絕不發生，因此，在得出對H₀的判定時，可能會發生兩類錯誤：第一類錯誤是當H₀實際上為真時拒絕H₀；第二類錯誤是當H₀實際為假時接受H₀。第一類錯誤是“以真為假”的錯誤，犯第一類錯誤的概率由α給出，α越大，H₀越容易錯誤地被拒絕；第二類錯誤是“以假為真”的錯誤，犯第二類錯誤的概率通常用β表示。可以發現犯這兩類錯誤的概率之間存在反比關系，所以，在樣本量確定為n時，α減小會使β增大。若希望同時減小犯兩類錯誤的可能性，必須增加樣本數目n。

 

　　定義α：當原假設H₀為真時，假設檢驗統計量的樣本值卻落在接受域之外，因而拒絕原假設H₀，這類錯誤稱為第一類錯誤，其發生的概率稱為犯第一類錯誤的概率或稱棄真概率，通常記為α，即

P(拒絕H₀ | H₀為真) = α

　　定義β：當原假設H₀為不真時，假設檢驗統計量的樣本值卻落在接受域之內，因而接受原假設H₀，這類錯誤稱為第二類錯誤，其發生的概率稱為犯第二類錯誤的概率或稱存偽概率，通常記為β，即

P(接受H₀ | H₀不真) = β

 

　　在實際應用時，我們通常只能控制犯第一類錯誤的概率，也就是錯誤地拒絕H₀的概率，這個概率就叫做顯著性水平。一般檢驗時，取α = 0.05，α = 0.01較多。為了保證β不至於太大，樣本數量不能太少在。在生物信息學里，樣本量是很大的，所以β也會很小，因此重點關注α。

否定域

　　我們將拒絕零假設H₀的區域稱為拒絕域。否定域的大小與顯著性水平α的選取有關。

　　否定域的位置（不是大小）與備擇假設H₁的性質有關。若H₁是指出預定方向的，如H₁：μ > μ₀，則假設檢驗為單邊檢驗；若H₁未指出預定的方向，如H₁：μ≠μ₀，則為雙邊檢驗。圖1.1是α=0.05的單邊檢驗否定域，圖1.2是α=0.05的雙邊檢驗否定域。可以看出，對於同一顯著性水平α，兩種否定域的位置不同，但總的大小並沒有什么不同。

　　在進行統計檢驗時，若根據樣本數據計算的統計量數值落入否定域，則認為零假設H₀不成立，稱作在顯著性水平α下拒絕H₀；否則認為零假設H₀不成立，稱作在顯著性水平α下不能拒絕H₀.

 

參考 《非參數統計》易丹輝