數學是一門抽象的學科，意義在於在數學家們見識了很多具體事例之后可以從這些有相同特性的事例中找到共同點，並且加以模型概括。
就比如高等代數，其實就是對我們平常十分熟悉的坐標系的變換，向量的矢量加法，函數的相加，多項式的處理等方面將其中計算抽象出來，正如三藍一棕所說，空間的本質就是數學家們對滿足一些計算的性質加以概括，對於一個對象的集合和我們定義的封閉在內的運算，數學家們提煉出最本質的一些性質（數乘，加法，交換律，結合律這種），然后基於這些已定義的底層的基本性質再向上推導一些結論和性質，這就是空間的作用，比如線性空間，我們幾乎可以把所有滿足線性運算的對象都放在一個空間中，（類比面向對象方法中的實例化），結果這些性質是一定成立的，因為只要這些對象滿足那些基本性質之后就可以基於這些基本性質推導出來你所熟悉的運算，只不過數學的公理和定義中給了一個抽象的名字，而你遇到的比如向量函數這類對象是實際存在的，當你把對象和抽象的名字替換就可以理解這些運算了。
從正交來看，正交具有很良好的性質，使得我們基於數字構成的坐標來表示空間中的運算更加方便。
可以發現，如果我們選定了一組正交基，在這個基上的坐標來表示空間中的任何一個向量（要注意，向量是廣義的），然后我們在進行比如內積這樣的運算的時候就計算更加簡便了，以上的解釋就是為了說明為什么我們在直角坐標系中可以直接通過坐標分量的乘積之和表示內積，如果我們沒有選定直角坐標系（非正交）那么內積的計算就不會如此容易。
一個正交分解就可以產生一個投影函數（空間直和），
然后我們熟知的兩點之間線段最短和點到直線最短距離是直線的外推抽象（請仔細品）：
學過一點高等代數，算是稍微理解了一下數學並不是僅僅考慮怎么計算，還考慮為什么這樣計算，為什么可以這樣計算。（抽象的道理啊……）