海明碼

糾正一位錯，檢測兩位錯的海明碼

一位錯誤檢測編碼

能檢測出數據中有一位錯誤，但是不能確定錯誤位置，因此不能糾錯。

奇偶校驗碼

1. 奇偶校驗碼如何檢錯
   • 奇偶校驗碼計算數據中1的個數是奇數還是偶數。當一個字被寫入后，奇偶校驗碼也被寫入。1代表奇數，0代表偶數。
   • 讀出數據時，只要計算奇偶校驗位和實際的奇偶情況是否相同即可。
   • 其特點還有一個，寫入一個校驗位后不會影響其奇偶性
2. 奇偶校驗碼有缺陷
   • 出錯的位數為偶數的時候，奇偶校驗碼無法檢錯。
   • 奇偶校驗碼是一位錯誤檢測編碼，只能檢出一位錯，且無法確定位置。

漢明糾錯碼

碼距

兩個等長的數據之間，不相同數據的位數。

• 舉例：
  A = 1100
  B = 1010
  碼距為2:A or B = 0110 （1的數量為2，所以碼距為2）

步驟

見下圖

1. 設置校驗位，分別在\(1, 2, 4, 8,\dots\)即\(2^n\)的數據位設置校驗位
   • 校驗位的檢測范圍：請觀察上圖的規律。
   • 一般來說，校驗碼數據位的位置即表示檢驗的間隔。
   • 特殊點：數據位的位置是從1開始計算，但校驗碼的間隔是從0開始計算。所以第一個間隔要比正常間隔要少一位。
2. 檢查檢測范圍內1的個數，若為奇數，檢驗位設置為1，反之設置為0
   • 通常是從\(P1,P2,P4,P8\dots\)的順序進行設置，如果檢測范圍沒有數字，則默認為0
3. 將所有校驗位設置好后，海明碼就設定完成

糾錯

接下來是看海明碼怎么糾錯

1. 從\(P1,P2,P4,P8\dots\)的順序開始檢查
2. 檢查校驗碼范圍內的1的個數，符合校驗碼的奇偶性則為正確，否則錯誤，記下哪個校驗碼出錯
3. 將所有校驗碼檢查過后，將所有出錯校驗碼的權值相加，將對應位置的數據取反。
   • 例子：假如\(P1,P8\)出錯，那出錯位則為1+8=9，第九位出錯，再將第九位取反，因為二進制出錯只可能是取反了

檢錯

海明碼還可以檢查兩位錯，通過再加一個校驗位來校驗整個字符串奇偶性。

1. 在最后一位添加一位奇偶校驗位（P），用於校驗整個數據的奇偶性，將檢驗位組成的數據稱為（H）
2. 總共會有四種情況
   1. P為偶，H為偶：完全正確
   2. P為奇，H為奇：出現了一位可糾正的錯
   3. P為偶，H為奇：說明H出錯了，取反H
   4. P為奇，H為偶：出現了兩位錯

循環冗余檢驗

這里是參考的大神的blog，寫得非常好，建議大家點這個傳送門去仔細學習一下，下面關於CRC的內容幾乎只是重新排版

先在要發送的幀后面附加一個數，生成一個新幀發送給接收端。當然，這個附加的數不是隨意的，它要使所生成的新幀能與發送端和接收端共同選定的某個特定數整除（注意，這里不是直接采用二進制除法，而是采用一種稱之為“模2****除法”）。到達接收端后，再把接收到的新幀除以（同樣采用“模2除法**”），這個選定的除數。因為在發送端發送數據幀之前就已通過附加一個數，做了“去余”處理（也就已經能整除了），所以結果應該是沒有余數。如果有余數，則表明該幀在傳輸過程中出現了差錯。

模2除法

與我們平時做除法運算的過程類似，但運算過程中采用的是異或運算。

如100101除以1110，結果得到商為11，余數為1

如11×11=101

步驟

1. 先選擇一個用於在接收端進行校驗時，對接收的幀進行除法運算的除數（是二進制比較特串，通常是以多項方式表示，所以CRC又稱多項式編碼方法，這個多項式也稱之為“生成多項式”）。
2. 看所選定的除數二進制位數（假設為k位），然后在要發送的數據幀（假設為m位）后面加上k-1位“0”，然后以這個加了k-1個“0“的新幀（一共是m+k-1位）以“模2除法”方式除以上面這個除數，所得到的余數（也是二進制的比特串）就是該幀的CRC校驗碼，也稱之為FCS（幀校驗序列）。但要注意的是，余數的位數一定要是比除數位數只能少一位，哪怕前面位是0，甚至是全為0****（附帶好整除時）也都不能省略。
3. 再把這個校驗碼附加在原數據幀（就是m位的幀，注意不是在后面形成的m+k-1位的幀）后面，構建一個新幀發送到接收端；最后在接收端再把這個新幀以“模2除法”方式除以前面選擇的除數，如果沒有余數，則表明該幀在傳輸過程中沒出錯，否則出現了差錯。

實例

由以上分析可知，既然除數是隨機，或者按標准選定的，所以CRC校驗的關鍵是如何求出余數，也就是校驗碼（CRC校驗碼）。

下面以一個例子來具體說明整個過程。現假設選擇的CRC生成多項式為G（X） = X4 + X3 + 1，要求出二進制序列10110011的CRC校驗碼。下面是具體的計算過程：

1. 首先把生成多項式轉換成二進制數，由G（X） = X4 + X3 + 1可以知道（，它一共是5位（總位數等於最高位的冪次加1，即4+1=5），然后根據多項式各項的含義（多項式只列出二進制值為1的位，也就是這個二進制的第4位、第3位、第0位的二進制均為1，其它位均為0）很快就可得到它的二進制比特串為11001。

2. 因為生成多項式的位數為5，根據前面的介紹，得知CRC校驗碼的位數為4（校驗碼的位數比生成多項式的位數少1）。因為原數據幀10110011，在它后面再加4個0，得到101100110000，然后把這個數以“模2除法”方式除以生成多項式，得到的余數（即CRC碼）為0100，如圖5-10所示。注意參考前面介紹的“模2除法”運算法則。

   

3. 把上步計算得到的CRC校驗0100替換原始幀101100110000后面的四個“0”，得到新幀101100110100。再把這個新幀發送到接收端。

4. 當以上新幀到達接收端后，接收端會把這個新幀再用上面選定的除數11001以“模2除法”方式去除，驗證余數是否為0，如果為0，則證明該幀數據在傳輸過程中沒有出現差錯，否則出現了差錯。