海明碼（漢明碼）

海明碼（漢明碼）

概念

漢明碼（Hamming Code），是在電信領域的一種線性調試碼，以發明者理查德·衛斯里·漢明的名字命名。漢明碼在傳輸的消息流中插入驗證碼，當計算機存儲或移動數據時，可能會產生數據位錯誤，以偵測並更正單一比特錯誤。由於漢明編碼簡單，它們被廣泛應用於內存（RAM）。——百度百科

編碼方式

海明碼可以對一位比特錯誤起到檢錯和糾錯的作用，對於海明碼的編碼方式包涵以下幾個過程

確定校驗位數

在海明碼中，校驗位(\(x\))和信息位(\(y\))滿足如下關系：

\[2^x \geq x +y \]

根據此公式容易求出檢驗位和信息位的數量，有如下對應關系：

信息位位數	1	2~4	5~11	12~26	27~57	58~120
校驗碼位數	2	3	4	5	6	7

確定校驗位位置

海明碼中校驗位位置是固定的均為2的冪次的位置（1,2,4,8，……）

確定校驗位的值

海明碼編碼時對於每個校驗位會將信息位分組，每一個校驗位會覆蓋多個信息位，對每個校驗位其能覆蓋的信息位有如下特點：

\[h為信息位地址\\ p為校驗位地址\\ p\&q>0 \]

對於每個校驗位所覆蓋的區域，采用校驗方式確定校驗碼的值，一般為偶校驗

糾錯和檢錯

確定校驗位數

在得到海明碼之后，我們可以通過總位數來計算出相應的信息位和檢驗位各有多少，根據上述公式即可，同理即可得到校驗位地址，並獲得各個校驗碼

檢錯

假設各個校驗碼是由偶校驗得到的，那么我們再次計算接收端的海明碼對應的各個校驗位的值，然后將新得到的校驗位的值與發送來的值相比較，相同則證明該校驗位覆蓋的范圍內的信息位全部是正確的，否則則該校驗碼所覆蓋的范圍內的信息位存在錯誤，通過各個校驗碼的比較我們可以確定那幾個分組存在錯誤，通過查看分組的交集，便可以確定錯誤的信息位的位置

糾錯

得到錯誤的信息位之后，對其取反即可

示例

發送端信息碼：1010110

信息碼位數為7，所以可以確定校驗碼位數為4，海明碼總位數為11

校驗碼位置為：1,2,4,8

計算校驗碼的值：(偶校驗方式)

\[p1 = 偶校驗(h1,h3,h5,h7,h9,h11) = 0\\ p2 = 偶校驗(h3,h6,h7,h10,h11) = 1\\ p4 = 偶校驗(h5,h6,h7) = 1\\ p8 = 偶校驗(h9,h10,h11) = 0\\ \]

獲得海明碼為：01110100110

接收端海明碼為：01110100111

確定校驗位：1,2,4,8

計算校驗碼值：

\[p1 = 偶校驗(h1,h3,h5,h7,h9,h11) = 1\\ p2 = 偶校驗(h3,h6,h7,h10,h11) = 1\\ p4 = 偶校驗(h5,h6,h7) = 0\\ p8 = 偶校驗(h9,h10,h11) = 1\\ \]

由此確定錯誤位為11位，因為特殊的分組方式，所以這里計算結果從高位開始排出為1011（二進制）=11，也可確定錯誤位