【數值分析】 -條件數性質證明 筆記

 ① 任意算子范數下的條件數均≥1

　　由矩陣乘法不等式可知

  Cond（A）_r  = ||A||  .  ||A^-1||  ≥  ||A^-1 A|| = ||E|| = 1

  故Cond（A）_r ≥ 1

② 正交矩陣A在“2”范數下的條件數 Cond（A）₂=1

　　A為正交矩陣

　　PS：A為正交矩陣時 ，A^TA=AA^T=E  ；

　　所以 A^T = A-1

　　可證得 CondA）₂ = √（λmax A^TA    /    λmin A^TA   ）=  √（λmax A^-1A    /    λmin A^-1A   ）= 1

　　PS：矩陣特征值 用 |A-λE| =0 求解

 /----------------------------------分割線---------------------------------/

下面證明的正確性有待商榷 !!!

關於證明Q是酉矩陣，A,Q都是n×n階矩陣，cond₂（QA）=cond₂（AQ）=cond₂（A）如下：

已知Q為酉矩陣，則Q^-1=Q^{T  ；}

而且Q^-1也是酉矩陣。

cond₂（QA）=  || (QA)^-1  || ₂   || QA ||₂

=||  A^-1Q^-1  ||₂    || QA ||₂   

->由於2-范數為酉不變范數->

=||A^-1 ||₂  || A ||₂

= Cond（A）₂

=cond（AQ）₂，此處和cond₂（QA）同理，也是轉換后利用酉不變范數特性