假設檢驗實際上是用反證法做出非對即錯的判斷：先假定原假設是對的，然后將抽樣數據代入相應的分布中去驗證，觀察原假設的數值是落在接受域還是拒絕域，由此做出是接受還是拒絕原假設的判斷。
值得注意的是，不同於以往嚴格的數學證明，假設檢驗是建立在小概率事件原理的基礎之上。由於小概率事件也有可能發生，因此並不能百分之百確定原假設一定不成立，也就是說，原假設也有判斷錯誤的時候。
兩種錯誤類型
假設檢驗有兩種判斷錯誤的類型，統計學家給出了專業的名稱：第一類錯誤和第二類錯誤。
第一類錯誤（false reject）：錯誤地拒絕，H0是對的，卻拒絕了它。也就是說，計算結果落在拒絕域，但真實結果是在接受域。
第二類錯誤（false accept）：錯誤地接受，H0是錯的，卻接受了它。也就是說，計算結果落在接受域，但真實結果是在拒絕域。
第一類錯誤也叫Ⅰ 型錯誤或棄真錯誤，第二類錯誤也叫Ⅱ 型錯誤或存偽錯誤。我覺得還是忘記這些文縐縐名稱，記住false reject和false accept即可，畢竟這兩個英文短語更直白，更容易理解。
假設檢驗的理想情況是能過做出與實際相符的正確斷言，但由於抽樣數據的隨機性，根據樣本計算的統計量必然會與整體的真實數值存在差異，這種差異可能導致出現四種判斷結果：
錯誤的概率
既然假設檢驗無法保證百分之百有效，那么我們就需要研究兩類錯誤出現的概率，由此將假設檢驗的功效數值化。
先來看第一類錯誤。
第一類錯誤是在H0正確的時候錯誤地卻拒絕了它，這就意味着我們的判斷結果落在了拒絕域內：
結果落在拒絕域內的概率與顯著性水平一致，因此α的數值決定了出現第一類錯誤概率：
隨着α的減小，第一類錯誤出現的概率也隨之減小。當α=0時，第一類錯誤完全消失，也就是永遠不會拒絕H0，這有點像過去的“守舊派”對於“法先王”的絕對擁護，無論時代怎么進步，“法先王”都必須服從，任何改革都視為大逆不道。
可以看出，由於α的值很小，所以犯第一類錯誤的幾率也很小。
再來看第二類錯誤。
第二類錯誤是在H0錯誤的時候接受了它，一個本應落在拒絕域內的點卻落在了接受域內：
我們用β表示第二類錯誤出現的概率，只要α確定了，β也就確定了。一個草率的判斷是β=1-α，按照這種計算方式，β=0.95，這意味着第二類錯誤出現的概率高達95%！如果這樣，那么假設檢驗還有什么用？
實際上β的計算比α難得多。
我們延用產品元件的故事。μ0是改善前總體的均值，μ1是改善后總體的均值，改善前后的標准差一致，都是σ=6。
原假設H0：改善前與改善后是同一個正態分布，μ0=μ1=600。
備擇假設H1：改善前與改善后是不同的正態分布，μ0 =600< μ1=603。
公司用新技術制造了大量元件，從中多次抽取容量是m（m≥30）的樣本進行檢驗。根據中心極限定理，樣本均值的分布服從均值為總體均值，方差為總體方差1/m的正態分布：
對樣本均值進行標准化處理：
使用0.05顯著性水平，在標准正態分布下，查表可知臨界值是1.645。
當Z0 > 1.645時，將拒絕H0假設。
再來看均值的逆運算：
也就是說，如果抽樣的均值大於601.802，就應該拒絕相信H0。
現在可以計算出標准正態分布下β區域的臨界值：
結論是，如果改善后的功率均值是603，那么以此為條件，犯第二類錯誤的概率是β=0.137。通過β的計算過程可以看出，只有當H1假設是一個固定的值時，才能計算出β。如果H1假設不是固定，比如只給出了μ1 > 603，那么將無法根據①計算出z1，也就無法進一步求得β。
一個常見的問題是，既然一開始就知道了H0和H1的均值和方差，為什么還要使用標准化處理？直接計算臨界值豈不是更簡單？
我們的確可以直接通過計算機解求得X~(μ0, σ2)時的臨界值，但這是總體分布下的臨界值，而我們的假設檢驗是基於抽樣，並非總體，此時用到的理論是中心極限定理，因此才大費周章地使用標准化形態。
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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