Tutte theorem
圖 \(G=(V,E)\) 有完美匹配當且僅當滿足 \(\forall U\subseteq V,o(G-U)\le|U|,o(X)\) 表示 X 子圖的奇連通塊數。
Tutte–Berge formula
圖 \(G=(V,E)\) 的最大匹配數為 \(\frac12\min\limits_{U\subseteq V}\{|U|-o(V-U)+|V|\}\)
Tutte 定理證明
必要性
如果 G 有完美匹配，那么每個奇連通塊至少有一個點需要與 U 中的點匹配，故得證.
充分性
定義壞集 S 滿足 \(|S|<o(G-S)\) ，那么圖 G 中不能存在壞集。
如果 S 是 G 的壞集，那么 S 也一定是 G 的導出子圖的壞集。
於是不妨令 G 滿足 G 不存在完美匹配，且加入任意一條不在 G 中的邊后存在完美匹配。
令 S 為滿足度數為 \(|V|-1\) 的點集，首先考慮 \(G-S\) 中的每個連通塊都是團的情況，容易發現 S 一定是壞集。
於是 \(G-S\) 中至少有一個連通塊不是團，考慮把這個連通塊扯出來討論，我們找出其中兩個沒有邊直接相連的點 \(x,y\) ，設從 \(x\rightarrow y\) 最短路上的頭三個點為 \(a,b,c\) ，那么顯然 \((a,c)\notin E\) ，且一定存在點 \(d\) 滿足 \((b,d)\notin E\) 。
由於上面限制了 G 加入任意一條不在 G 中的邊后都存在完美匹配，因此我們設 \(M_1\) 是 \((V,E\cup(a,c))\) 的一組完美匹配， \(M_2\) 是 \((V,E\cup(b,d))\) 的一組完美匹配，顯然 \((a,c)\in M_1,(M_2)\in M_2\) （第一次走 \(M_1\) 的）。
然后定義 P 是在 G 上面從 d 出發，交替走 \(M_1,M_2\) 中的邊得到的最長路徑，顯然最后會落在 \(a,b,c\) 點中的一個。
如果落在 b 點，我們令 \(C=P\cup(b,d)\) ，否則令 \(C=P\cup(a/c,b)\cup(b,d)\) ，這樣 C 就是一個偶環，對於 C 我們選擇不在 \(M_2\) 中的邊可以形成一組新的匹配，對於 \(G-C\) 中的點我們按照 \(M_2\) 中的邊匹配，這樣就形成了一組新的完美匹配，故得證.
Tutte-Berge 公式與 Tutte 定理等價性證明
定義 \(def(G)\) 表示圖 G 最大匹配中未被覆蓋定點數， \(\nu(G)\) 表示 G 的最大匹配數，那么顯然有 \(def(G)=|V|-2\nu(G)\).
Tutte-Berge formula \(\Rightarrow\) Tutte theorem
移項即可
Tutte theorem \(\Rightarrow\) Tutte-Berge formula
設 \(\delta'(G)=\max\limits_{U\subseteq V}\{o(V-U)-|U|\}\) ，並設 \(S\) 是取得最大值時的 \(U\) ，即證 \(\delta'(G)=def(G)\)。
顯然有 \(\delta'(G)\ge0\) ，下面根據 \(\delta'(G)\) 的取值進行分類討論。
- \(\delta'(G)=0\) ，那么滿足 Tutte 定理的條件，整張圖存在完美匹配， \(\delta'(G)=def(G)=0\)
- \(\delta'(G)>0\) ，那么一定有若干奇連通塊存在點在 X 中未被覆蓋，設該個數為 \(x\) ，\(o(G-X)=y\) ，那么一定滿足 \(x\ge y-|X|\) 和 \(x\le def(G)\) ，因此 \(\delta'(G)\le def(G)\)成立。
另一方面，考慮構造一個有 \(\delta'(G)=0\) 個點的完全圖 H ，然后跟 G 拼一個新圖 \(G'=(V_H\cup V_G,E_H\cup E_G\cup\{(u,v)|u\in V_H,v\in V_G\})\)
容易在利用 Tutte 定理簡單討論后證明 G' 有完美匹配，因此 \(|V_H|=\delta'(G)\ge def(G)\) ，因此 \(\delta'(G)=def(G)\) ，故 Tutte-Berge 公式得證.