等價關系、偏序關系

等價關系是抽象的根基

定義

【等價關系】設 \(R \subseteq X \times X\)，如果 \(R\) 是自反、對稱、傳遞 關系，則 \(R\) 就稱為等價關系

【等價類】設 \(R \subseteq X \times X\) 是 \(X\) 上的等價關系，\(\forall x \in X, \ \ [x] = \{ y \in X \mid (y, x) \in R \}\) 稱為 \(R\) 的一個等價類

【集合的划分】設 \(X\) 是一個集合，\(\mathcal{A}\) 是 \(X\) 的非空子集構成的集合，如果 \(\mathcal{A}\) 滿足「\(A, B \subseteq \mathcal{A}, A \cap B = \varnothing\)」與「\(\bigcup _{A_i \in \mathcal{A}} A_i = X\)」，則稱 \(\mathcal{A}\) 是集合 \(X\) 的一個划分

【偏序關系與偏序集】設 \(\le : X \rightarrow X\)，如果 \(\le\) 是自反、傳遞、反對稱的，則稱 \(\le\) 是 \(X\) 上的偏序關系，\((X, \le)\) 稱為偏序集

【全序關系與全序集】設 \(\le : X \rightarrow X\)，若 \(\forall x, y \in X, \ (x, y) \in \le\) 或 $ (y, x) \in \le$，則稱 \(\le\) 為全序關系，\((X, \le)\) 稱為全序集

定理

【不同等價類無交集】\([x] \neq [y] \rightarrow [x] \cap [y] = \varnothing\)
【等價關系與集合划分一一對應】給定集合 \(X\) 上的一個划分 \(\mathcal{A}\)，由 \(\mathcal{A}\) 可以確定一個等價關系

理解

1. 若 \(I \subseteq R, \ R^{-1} \subseteq R, \ R^2 \subseteq R\)，則 \(R\) 就是等價關系
2. 因為並非所有集合元素都存在序關系，所以叫偏序關系