等价关系、偏序关系

等价关系是抽象的根基

定义

【等价关系】设 \(R \subseteq X \times X\)，如果 \(R\) 是自反、对称、传递 关系，则 \(R\) 就称为等价关系

【等价类】设 \(R \subseteq X \times X\) 是 \(X\) 上的等价关系，\(\forall x \in X, \ \ [x] = \{ y \in X \mid (y, x) \in R \}\) 称为 \(R\) 的一个等价类

【集合的划分】设 \(X\) 是一个集合，\(\mathcal{A}\) 是 \(X\) 的非空子集构成的集合，如果 \(\mathcal{A}\) 满足「\(A, B \subseteq \mathcal{A}, A \cap B = \varnothing\)」与「\(\bigcup _{A_i \in \mathcal{A}} A_i = X\)」，则称 \(\mathcal{A}\) 是集合 \(X\) 的一个划分

【偏序关系与偏序集】设 \(\le : X \rightarrow X\)，如果 \(\le\) 是自反、传递、反对称的，则称 \(\le\) 是 \(X\) 上的偏序关系，\((X, \le)\) 称为偏序集

【全序关系与全序集】设 \(\le : X \rightarrow X\)，若 \(\forall x, y \in X, \ (x, y) \in \le\) 或 $ (y, x) \in \le$，则称 \(\le\) 为全序关系，\((X, \le)\) 称为全序集

定理

【不同等价类无交集】\([x] \neq [y] \rightarrow [x] \cap [y] = \varnothing\)
【等价关系与集合划分一一对应】给定集合 \(X\) 上的一个划分 \(\mathcal{A}\)，由 \(\mathcal{A}\) 可以确定一个等价关系

理解

1. 若 \(I \subseteq R, \ R^{-1} \subseteq R, \ R^2 \subseteq R\)，则 \(R\) 就是等价关系
2. 因为并非所有集合元素都存在序关系，所以叫偏序关系