2021/10/3(偏序)

引言

信息學競賽中有個很經典的問題——偏序問題。

可能很多人並沒有聽說過什么是偏序問題，但大多應該都聽說過逆序對和最長上升子序列問題。這兩個問題都是偏序問題的一種。

先來理解下偏序關系的定義。

定義

偏序關系

設R是集合A上的一個二元關系，若R滿足：

1. 自反性：對任意x∈A，有xRx；
2. 反對稱性（即反對稱關系）：對任意x,y∈A，若xRy，且yRx，則x=y；
3. 傳遞性：對任意x, y,z∈A，若xRy，且yRz，則xRz。

則稱R為A上的偏序關系，通常記作≼。

 

這一系列數學定義可能比較難懂，但如果你把小於等於號帶入這個R就容易明白了，這個定義就是誕生在小於等於號上的，當然他不僅是代表小於等於號，數學將這些概念抽象化就是為了提煉出更加普適性的概念。比如集合的包含關系也是一種偏序關系，帶入這3個定義，顯然都可以滿足。

同理，我們給小於號也下一個定義。它和小於等於相似但又有不同，我們稱之為嚴格的偏序關系，相對應上面的稱之為非嚴格的偏序關系。

 

給定集合S，“<”是S上的二元關系，若“<”滿足：

1. 反自反性：∀a∈S，有a≮a；

2. 非對稱性：∀a，b∈S，a<b ⇒ b≮a；

3. 傳遞性：∀a，b，c∈S，a<b且b<c，則a<c；

則稱“<”是S上的嚴格偏序或反自反偏序。

與非嚴格的偏序關系不同的地方就是沒有反對稱性，取而代之的是非對稱性。上面寫的包含關系是一種偏序關系，更准確的說，包含關系是非嚴格的偏序關系，而真包含是嚴格的偏序關系。

全序關系

偏序和全序是公里集合論中的概念，全序關系是偏序關系的一個子集，如果是全序關系那必然是偏序關系，全序關系在全序關系上增加了一個完全性。

設R是集合 A上的一個 二元關系，若R滿足：

1. R是集合A上的一個偏序關系。
2. 完全性：對任意x∈A，y∈A,存在 (x,y)∈R或(y,x)∈R

 在實數集上的大於小於號等大小關系，更准確的說應該屬於一種全序關系，因為實數集上所有的數都能比較。但如果將數域擴展到復數域，復數域中的部分數是不能比較的，所以復數域中的大於小於號等大小關系是偏序關系而不是全序關系。同樣的，集合之間的包含關系也不是全序關系，因為兩集合可以處於不包含也不被包含的互相獨立的狀態。

正文

偏序問題

給定序列A，其中有序對(A_i,A_j)，滿足 i<j 且 A_i<A_j這樣的有序對我們稱之為逆序對，

信息學競賽中的逆序對問題，一般是要我們計數給出序列的逆序對個數的總和。

其實可以把它看成一個特殊的二維偏序問題，或者說是離散化x坐標的二維偏序問題。

我們把給定的序列A ，加上一個編號，變成一個二元組，即A₁-->(A₁,1) ,A₂-->(A₂,2) A_i-->(A_i,i)。存在兩個二元組（a，b），（c，d），滿足 a > c 且 b < d 的個數。我們將二元組放在一個二維空間中，二元組（x，y）表示坐標為（x，y）的點，此時我們就會發現實際上逆序對問題，就是一種二維偏序問題。

何為二維偏序問題？ 在二元組中定義一種偏序關系R，統計R集合中元素的個數。

比如逆序對問題，定義的關系就是：兩個二元組（a，b），（c，d），滿足 a > c 且 b < d 。易知它滿足偏序關系的3個定義，並且任意的兩個二元組也不都有關系,所以就不是全序，當然由於逆序對問題一般不會出現重復的數字，所以前兩個定義需要特別判斷，但它可以滿足最后的也是最重要的一條性質——傳遞性。也正是因為傳遞性我們才能使用各種算法來解決它們。

在信息學競賽中我們解決逆序對使用的是，線段樹或歸並排序，實際上這里的歸並排序就是cdq分治，實際上都是使用的分治法。

這兩種方法本質上相同，都是通過排序解決一個維度的問題，然后再使用分治快速處理另外一個維度的問題。

特別的最長上升子序列問題也是一種偏序問題，實際上可以轉換為，給出n個元素的二元組集合S，其中有二元組(A₁,1)，(A₂,2)...(A_n,n),在二元組中有關系R，定義為 二元組A （a，b）R B（c，d）當且僅當b<d 且 a<c,求集合S的一個最大子集滿足，子集中的關系R為全序關系。