偏序是有順序特點的關系。
偏序集中的特殊元素有
極大元、極小元、最大元、最小元，以及上界、下界、上確界和下確界八種。
定義如下:
設偏序集< A，≤ >，B⊆A，
y∈B
- 若∀x(x∈B → y≤x)，則y為B的最小元
- 若∀x(x∈B → x≤y)，則y為B的最大元
- 若∀x（x∈B ∧ x≤y → y=x），則y為B的極小元
- 若∀x（x∈B ∧ y≤x → y=x），則y為B的極大元
設偏序集< A，≤ >，B⊆A，
y∈A
- 若∀x（x∈B → x≤y），則y為B的上界
- 若∀x（x∈B → y≤x），則y為B的下界
- 令C={y|y是B的上界}，則C中最小元就是B上確界
- 令C={y|y是B的上界}，則C中最小元就是B上確界
［理解］
- 最大元:∀x(x∈B → x≤y)
由定義知道，x必須是B中的任何的一個元素，也同時y必須和x有關系，也就是說
y必須和B內的任何一個元素有關系，如果都有x≤y，那么說明y是在排在最后的。
上面的題目第一個B中，關鍵是（2和3）還有（24和36）之間沒有關系，而12，6又不是最大元最小元，所以沒有最大元和最小元。
注意！哈斯圖中沒有相連的兩個元素不一定就沒有關系！
根據哈斯圖的定義，只有覆蓋的才相連。
所以上面那一幅圖中，2和6，12，24，36是有關系的，3也和他們（除了2）有關系，因為2≤6，6≤12，12≤24，12≤36，根據偏序的傳遞性，2和6，12，24，36都有關系，而且都在他們前面，同理3也是和他們有關，同理6除了和2，3，12有關，也和24，36有關。也就是說除了2和3以及24和36兩組沒有任何關系，其他都有關。
必須和任何元素有關系，才能突出“最”。
- 同理，最小元也是。
- 極大元: ∀x（x∈B ∧ y≤x → y=x）
由定義知道，x∈B ∧ y≤x這是極大元的兩個條件，也就是說x必須屬於B，而且y和x必須有關系（這里說明了
並不需要和任何元素都有關系，和特定元素有關系即可，因為如果沒有關系，那么就是前假后必真，也屬於極大元），如果y≤x，那么就是極大元，為什么？
因為如果y≤x，則y=x的話，說明如果y≠x的時候，y不可能小於x，只能大於x，故為極大元。也就是說，
如果y是極大元，那么和y有關的x，x必須小於他。
比如上面題目第一個B中，有
2≤6，3≤6，6≤12，12≤24，12≤36，那么2和6有關系，3也和6有關系，而且都是小於6，.若x∈B ∧ y≤x 中，y≤x條件不成立，所以為真。但是和6有關的還有12，6≤12，而又有12≤24，12≤36，再往上就沒有了，沒有再比24，36大的了，所以24，36為極大元
- 同理，極大元也是
- 上界 若∀x（x∈B → x≤y），則y為B的上界
- 下界 若∀x（x∈B → y≤x），則y為B的下界
最大元和上界的最大區別就是：
最大元中是偏序集< A，≤ >，B⊆A，
y∈B
上界中是偏序集< A，≤ >，B⊆A，y∈A
也就是說，最大元是在
B中選擇然后再在B中看是否排在最后，而上界是在A中選擇看是否在B中排在最后。而且兩個都需要所選的元素和B集合中的元素都有關系。
上界和最大元的定義一樣，就是y屬於的集合不一樣而已。
題目中，A={2，3，6，12，24，36}，B = {2，3，6，12，24，36}，從A中選擇一個元素，看是否和B中的任何一個元素相比，都排在最后。
選擇2，因為2和3沒有關系，所以並不滿足和B中任何元素都有關系，同理選擇3也是。選擇6，6和B中全部元素都有關系，但是不滿足都有X≤Y，因為有2<6,3<6,6<12等等。而選擇12的話，12也和全部元素有關系，但是也不滿足X≤Y，因為有2<12,3<12,6<12,12<24等等。而選擇24的話，24和36沒有關系，所以不滿足。所以沒有上界，自然也就沒有上確界。
A ={2，3，6，12，24，36}，B = {6，12}，從A中選擇一個元素。
選擇２，２和 B中元素６、１２都有關系，且都是２≤６，２≤５，滿足下界條件ｙ≤ｘ。選擇３也同理。選擇６，６和６、１２也有關系，有６≤６，但是也有６≤１２，滿足下界，大師不滿足下界的Ｘ≤Ｙ，所以６不是上界而是下界，選擇其他的同理。
- 上確界：令C={y|y是B的上界}，則C中最小元就是B上確界
- 下確界：令C={y|y是B的上界}，則C中最小元就是B上確界
上確界和下確界關鍵是在上界集合和下界集合中選擇最小元和最大元。
比如題目中的第二行，A ={2，3，6，12，24，36}，B = {6，12}，上界＝｛１２，２４，３６｝，下界＝｛２，３，６｝，在上界中選擇最小元，根據最小元定義即所選必須和集合任何一個元素有關系且排在最前，１２和２４，３６有關系並且都有１２≤２４、３６，所以１２是上確界。在下界中選擇最大元，根據最大元定義，６符合。