數的機器碼表示
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為了妥善的處理數據運算過程中符號位的問題，於是就產生了 把符號位和數值位一起編碼起來 表示相應的數的各種表示方法。例如我們熟悉的原碼、反碼、補碼、移碼等。通常將未經 編碼的數稱為真值，編碼后的數稱為 機器數或者機器碼。
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真值的形式：正、負號加某進制數絕對值的形式，即數的實際值。如
+3，-5等 -
機器數的形式：真值按某種編碼方式進行編碼后的數值，即真值在機器中的表示，稱為機器數，一般可以分為 無符號數和有符號數兩種如：X=01011 ，Y=11011
原碼
定點整數
若定點整數的原碼形式位\(x_n x_{n-1}\cdot\cdot\cdot x_1x_0\),其中\(x_n\)為符號位，則原碼表示的定義為：
在上式中，x代表的是真值。
例如，\(x=+7\),化為二進制表示為\(x=+0111\);\(x_{[原]}=0111\)。
\(x=-7\),化為二進制表示為\(x=-0111\);\(x_{[原]}=2^3-(-0111)=1000+0111=1111\)。
我們可以總結出來：
-
對於正數\(x=+x_{n-1}...x_1x_0\),它的原碼是它自己本身，常常在最高位前面補0，代表它是一個正數。
- \(x_{[原]}=0x_{n-1}...x_1x_0\)
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對於0，根據原碼的定義則有兩種表示形式：
- \(+0=+0_{n-1}...0_10_0\)
- 此時正0的原碼為\(+0_{[原]}=00_{n-1}...0_10_0\)
- \(-0=-0_{n-1}...0_10_0\)
- 此時負0的原碼為\(-0_{[原]}=10_{n-1}...0_10_0\)
- \(+0=+0_{n-1}...0_10_0\)
-
對於負數\(x=-x_{n-1}...x_1x_0\),它的原碼是在最高位前面補1，代表它是一個負數。
- \(x_{[原]}=-x_{n-1}...x_1x_0\)
對於一個定點整數原碼\(x_nx_{n-1}...x_1x_0\),最高位\(x_n\)代表符號位，用0來表示正數，用1來表示負數。而\(x_{n-1}...x_1x_0\)則代表的是數值位。它的大小就是該原碼對應真值的絕對值。
我們很容易求出它的范圍\([-(2^n-1),2^n-1]\)
定點小數
假設定點小數的原碼形式為\(x_s.x_1x_2...x_n\)(實際上小數點是不存儲的),其中\(x_s\)代表符號位。則原碼的定義為：
在上式中，x代表的是真值。
例如，\(x=+0.875\),化為二進制表示為\(x=+0.111\);\(x_{[原]}=0.111\)。
\(x=-0.875\)二進制表示為\(x=-0.111\);\(x_{[原]}=1.000-(-0.111)=1.000+0.111=1.111\)。 我們可以總結出來：
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對於正數\(x=+0.x_{n-1}...x_1x_0\),它的原碼是它自己本身，常常在最高位前面補0，代表它是一個正數。(注意，前面的0.實際上是不存儲的，也就是實際最高位是\(x_{n-1}\))
- \(x_{[原]}=0.x_{n-1}...x_1x_0\)
-
對於0，根據原碼的定義則有兩種表示形式：
- \(+0=+0.0_{n-1}...0_10_0\)
- 此時正0的原碼為\(+0_{[原]}=0.0_{n-1}...0_10_0\)
- \(-0=-0.0_{n-1}...0_10_0\)
- 此時負0的原碼為\(-0_{[原]}=1.0_{n-1}...0_10_0\)
- \(+0=+0.0_{n-1}...0_10_0\)
-
對於負數\(x=-0.x_{n-1}...x_1x_0\),它的原碼是在最高位前面補1，代表它是一個負數。(注意，前面的0.實際上是不存儲的，也就是實際最高位是\(x_{n-1}\))
- \(x_{[原]}=-1.x_{n-1}...x_1x_0\)
對於一個定點小數原碼 \(x_s.x_1x_2...x_n\),最高位 \(x_s\)代表符號位，用0來表示正數，用1來表示負數。而\(x_1x_2...x_n\)則代表的是數值位。它的大小就是該原碼對應真值的絕對值。
我們很容易求出它的范圍[\(2^{-n}-1,1-2^{-n}\)]
原碼的計算
原碼雖然表示極為簡單，但是最大的問題就是加法運算十分復雜。
兩數相加時，我們需要考慮兩個數的符號，如果符號相同，我們可以把數值位直接相加，然后在最高位前邊添加上原來的符號位。但如果符號位不相同，那么我們就要考慮進行減法運算。進行減法的時候，我們需要考慮數值位的絕對值大小來決定符號位。這也就是原碼運算的缺點：參與運算復雜，需要將數值位與符號位分開考慮。
反碼
當進行減法的時候，人們想到如何把減法變為加法，那么這樣會更加簡便，只靠加法器就可以完成運算。比如
\(1-1=0\)
\(0001-0001=0000\)
\(1+(-1)=0\)
\(0001+1001=1010=-2\)
顯然是計算錯誤的。
於是人們引入了反碼來表示負數。
定點整數
設定點整數的反碼形式為\(x_n x_{n-1}\cdot\cdot\cdot x_1x_0\)，\(x_n\)代表符號位。
則
對於正數，它的反碼為它本身，如+7=0111，它的反碼為0111
對於負數，它的反碼表示為：符號位不變，數值位取反。，如-7=1000
對於0
- +0
- 0000-->0000
- -0
- 1000-->1111
定點小數
假設定點小數的反碼形式為\(x_s.x_1x_2...x_n\)(實際上小數點是不存儲的),其中\(x_s\)代表符號位。則反碼的定義為：
在上式中，x代表的是真值。
反碼的運算
注：如果最高位相加后產生進位，則最后得到的結果要加1。
\(1+(-1)=0\)
0001+1110=1111=-0
在以-126+127=1為例
10000001+01111111=100000000
- 進了一位，末位加一
- 10000000+01111111+1
- 最后結果為00000001
也就是說，反碼解決了把減法化為加法的問題。
補碼
補碼的由來
為了解決原碼的計算問題，人們引入了補碼。
我們先從時鍾的例子來介紹補碼的原理。
比如我們將定在五點的鍾表跳到三點，有2種調法：
我們既可以順時針調也可以逆時針調。也就是說我們\(5-2\)和\(5+10\)的效果是一樣的。
而把這種思想引入到計算機中，不就可以把減法轉為加法了嗎？
在上面的式子中，在模為12的情況下，-2的補碼就是10。一個負 數用其補碼代替，同樣可以得到正確的運算結果。
那什么是模呢？
計算機中運算器、寄存器、計數器都有一定的位數，不可能容納無限大的任意數。當運算結果超出實際的最大表示范圍， 就會發生溢出，此時所產生的溢出量就是模（module）
可以把模定義為一個計量器的容量。
如一個八位計數器，0000 0000~1111 1111,它表示的范圍就是[0,255]。當計數器表示為1111 1111 時，如果計數器再加一，那么此計數器就會溢出。計數器上的數值會變成0000 0000.而此計數器的溢出量就是256.
假設此計數器表示一個定點小數，它表示的范圍就是[0,2-\(2^{-8}\)]。當表示最大的時候，計數器值為1.111 1111當計數器加一的時候，那么計數器就會清零，變為0.0000000。那么此此定點小數的溢出量就是2.
從上面我們可以推導出，一個n+1位定點整數\(x_n x_{(n-1)} ... x_2 x_1 x_0\)，它的溢出量為\(2^{n+1}\)，所以模為\(2^{n+1}\)。
任意一個定點小數\(x_s.x_1x_2...x_n\),它的溢出量是2，所以模為2。
而在計算機中，機器能表示的數據位數是固定的， 其運算都是有模運算。若運算結果超出了計算機所能表示的數值范圍， 則只保留它的小於模的低n+1位的數值，超過n+1 位的高位部分就自動舍棄了。
下面我們來引入補碼的定義：
定點整數
定點整數的補碼形式為\(x_n x_{n-1}\cdot\cdot\cdot x_1x_0\),其中\(x_n\)為符號位，補碼表示的定義為：
在上式中，x代表的是真值。
例如，\(x=+7\),化為二進制表示為\(x=+0111\);\(x_{[補]}=0111\)。
\(x=-7\),化為二進制表示為\(x=-0111\);\(x_{[補]}=2^4+(-0111)=10000-0111=1001\)。
我們可以總結出來：
-
對於正數\(x=+x_{n-1}...x_1x_0\),它的補碼是它自己本身，常常在最高位前面補0，代表它是一個正數。
-
\(x_{[補]}=0_nx_{n-1}...x_1x_0\)
-
對於0，根據補碼的定義：
-
\(+0=+0_{n-1}...0_10_0\)
- 此時正0的補碼為\(+0_{[補]}=0_n0_{n-1}...0_10_0\)
-
\(-0=-0_{n-1}...0_10_0\)
- 此時負0的補碼為\(-0_{[補]}=（10_n0_{n-1}...0_10_0-0_{n-1}...0_20_10_1）mod(10_n0_{n-1}...0_10_0)=0_n0_{n-1}...0_10_0\)
由此可見，零的補碼是唯一的，沒有+0和-0之分。
-
-
對於負數\(x=-x_{n-1}...x_1x_0\)
常常可以通過把數值位按位取反，然后末位加一來計算負數的補碼。
- 如求\(-127\)的補碼
- $[-0111 1111]_{[補]}=10000 0000-01111111 $
- \(10000000=11111111+1\)
- \([-0111 1111]_{[補]}=11111111-01111111+1\)，這一步剛剛說明了上面的計算方法的原理。
\(-128\)的補碼的求法。
- -128=-1000 0000
- \([-10000000]_{[補]}=11111111-10000000+1=10000000\)
其實還有一個更為漸變的補碼的求法：從右到左遇到第一個 1 的前面各位取反。也就是從右向左，遇到1之前，還保持原樣。遇到1之后，各位取反。以-126為例：\(-126=-01111110\)
[-01111110]的補碼位10000010，10是不變的。而黑體部分則是取反的。
- 如求\(-127\)的補碼
對於補碼的取值范圍，10000000-11111111——- \(-128\)~\(-1\)
00000000~011111111 ——0~127
推廣到n位數，則補碼的范圍就是[\(-2^{n-1},2^{n-1}-1\)]
定點小數
定點小數的補碼形式為\(x_s.x_1x_2...x_n\)(實際上小數點是不存儲的),其中\(x_s\)代表符號位。則補碼的定義為：
在上式中，x代表的是真值。
例如，\(x=+0.875\),化為二進制表示為\(x=+0.111\);\(x_{[補]}=0.111\)。
\(x=-0.875\)二進制表示為\(x=-0.111\);\(x_{[補]}=10.000-(0.111)=1.001\)。
我們可以總結出來：
-
對於正數\(x=+0.x_{n-1}...x_1x_0\),它的補碼是它自己本身，常常在最高位前面補0，代表它是一個正數。(注意，前面的0.實際上是不存儲的，也就是實際最高位是\(x_{n-1}\))
-
\(x_{[原]}=0.x_{n-1}...x_1x_0\)
-
對於0，根據補碼的定義：
-
\(+0=+0.0_{n-1}...0_10_0\)
- 此時正0的補碼為\(+0_{[補]}=0.0_{n-1}...0_10_0\)
-
\(-0=-0.0_{n-1}...0_10_0\)
- 此時負0的補碼為\(-0_{[補]}=（10.0_{n-1}...0_10_0-0.0_{n-1}...0_10_0）mod(10.0_{n-1}...0_10_0)=0.0_{n-1}...0_10_0\)
也就是說，0的補碼是唯一的。
-
-
對於負數
按位取反，末位加一，和定點整數一樣。雖然我們看起來有一個小數點，但是實際上小數點是不存儲的。
定點小數的補碼的范圍，0000~0111--> [0,0.875]
1000~1111--> [-1,-0.125]
擴展到n位補碼
我們很容易求出它的范圍$[-1,1-2^{-（n-1）}] $
補碼的運算
假設一個二進制整數補碼有n+1位，\(x_nx_{n-1}...x_2x_1x_0\),則補碼與真值的對應關系可以這么表示：
\(X_{真值}=-2^n\times x_n+\sum_{0}^{n-1}2^ix_n\)
當該數為正整數的時候，\(x_n\)位變為0，\(0x_{n-1}...x_2x_1x_0\),
\(X_{真值}=\sum_{0}^{n-1}2^ix_n\)
當該數為負整數的時候，\(x_n\)位變為1，\(1 x_{n-1}...x_2x_1x_0\),
\(X_{真值}=-2^n+\sum_{0}^{n-1}2^ix_n\)
- 以-127為例，-127=-01111111
- 它的補碼為10000001
- 從補碼求真值的過程:-10000000+1=-01111111-1+1=-01111111
上面我們說到過，計算機中用原碼進行加減運算是十分麻煩的，那么我們來看一下用補碼來運算。
\(126-127=0\)
-
原碼
-
\(01111110-01111111\)
-
我們需要比較數值位的絕對值大小，來決定符號位，1
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1111111-1111110=0000001
-
10000001
假設把減法看成加法
- 01111110+（-01111111）=01111110+11111111=100000001
- 1會溢出，那么得到的結果就是00000001，按原碼表示的化，真值為1，顯然是錯誤的。
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補碼
- 01111110+10000001=11111111
- 轉換為真值后為-1。正確的
- 原理是這樣的
- 126-127=-1
- 126+(-127)=-1
- 126+129mod256=-1
- 這里-127等效於129mod256
由此，我們可以看出，補碼實際上是可以直接帶符號位運算的運算的。
求相反數的補碼：由[X]補求[-X]補
帶符號位一起取反，然后末位加一
如求我們已知+127的補碼求-127的補碼：
- 01111111
- 10000001
移碼
移碼通常用於表示浮點數的階碼。由於階碼是k位的整數，假設定點整數移碼形式為\(e_ke_{k-1}...e_2e_1e_0\)最高位為符號位是。移碼的傳統定義是：
\([e]_移=2^k+e\)
上式中，e為真值，\(2^k\)為固定的偏移值常數。
與[x]補的區別：符號位相反
| 真值 | 補碼 | 移碼 |
|---|---|---|
| -8 | 1000 | 0000 |
| -7 | 1001 | 0001 |
| -6 | 1002 | 0002 |
| …… | ...... | ...... |
| 0 | 0000 | 1000 |
| +1 | 0001 | 1001 |
| …… | ...... | ....... |
| +7 | 0111 | 1111 |
移碼的表示
移碼表示的機器數為數的真值在數軸上向右平移了 固定的偏移值。
如八位移碼：
移碼的特點
- 在移碼中，最高位為0表示負數，最高位為1表示正數，這與原 碼、補碼、反碼的符號位取值正好相反。
- 移碼為全0時所對應的真值最小，為全1時所對應的真值最大！ 因此，移碼的大小直觀地反映了真值的大小，這將有助於兩個 浮點數進行階碼大小比較。
- 真值0在移碼中的表示形式是唯一的，即：[+0]移= [0]移= 100…00
- 移碼把真值映射到一個正數域，所以可將移碼視為無符號數， 直接按無符號數規則比較大小。
- 同一數值的移碼和補碼除最高位相反外，其他各位相同。
原碼、反碼、補碼、移碼
取值范圍的一個比較
