原碼、反碼、補碼、移碼相互轉換及其運算

原碼、反碼、補碼和移碼的相互轉換

 

 

  

一、機器數

　　連同符號位一起數字化的數。

　　1.特點
　　　　①符號數字化
　　　　②數值的大小受機器字長的限制。每個機器數所占的二進制位數受限於機器硬件規模，與機器字長有關。超過機器字長的數位要被舍去。

　　2.真值：機器數中除“+”“-”符號外，其余部分表示的值。

　　3.分類

　　　　①無符號數：機器字長的所有二進制位均表示數值。

　　　　②帶符號數：數值部分和符號均為二進制代碼表示，通常符號位位於最高位。符號位“1”表示“-”，“0”表示“+”。

　　　　

 

 二、原碼

　　原碼是保持原有的數值部分的形式不變。

 　　　　整數部分：　　

　　　　　　當0≤X＜2ⁿ，[X]_原=X                             [10011001]_原 = 010011001

　　　　　　當-2ⁿ＜X≤0，[X]_原=2ⁿ-X=2ⁿ+|X|       [-10011001]_原= 110011001

　　　　小數部分：

　　　　　　當0 ≤ X＜1，[X]_原=X                           [0.10011001]_原 = 0.10011001

　　　　　　當-1＜X ≤ 0，[X]_原=1+|X|                   [-0.10011001]_原= 1.110011001

 　　①將[X]_原的符號取反即可得到[-X]_原

 　　　　【例題】設機器字長為8位，寫出+37和-37的二進制。

　　　　　　解析：37除二取余法得到的二進制數為100101，“+”為1，“-”為0，符號位在最高位

　　　　　　　　[+37]_原=(+37)₁₀=(+100101)₂=(+00100101)₂=00100101

　　　　　　　　[-37]_原=(-37)₁₀=(-100101)₂=(-00100101)₂=10100101

 　　②原碼中0的表示不唯一

　　　　整數原碼：[+0]_原=00...0     [-0]_原=10...0 

　　　　小數原碼：[+0]_原=0.00...0  [-0]_原=1.00...0 

　　③原碼的移位規則：符號位不變，數值部分左移或右移，移出的空位歸0。左移是乘法，右移是除法。移動n位是乘或除2ⁿ。

　　　【例子】　[0.0110000]_原=0.0110000

　　　　　　　　[0.0110000]_原÷2=0.0011000

　　　　　　　　[0.0110000]_原×2=0.1100000

三、反碼

　　①反碼與原碼的關系

　　　　當X≥0，[X]_反=[X]_原

　　　　當X<0,[X]_反=[X]_原的位取反（符號位不變）

　　　　【例子】

　　　　　　[+0.1001100]_反=0.1001100　　[-0.1001100]_反=1.0110011

　　　　　　[+1001100]_反=01001100　　　[-1001100]_反=10110011

　　②反碼中0的表示不唯一

　　　　[+0]_反=00...0　　[-0]_反=11...1

四、補碼　

　　補碼的目的是使得減法也可以按照加法的方式來計算（加減法）；同時，補碼可以將數的符號位和數值域采用統一方式處理。

 

　　　　模（mod）的概念：對於某一確定的模，某數減去一個數，可以用加上那個數的負數的補數來替代。

　　　　當X ≥ 0，[X]_補=(M+X)mod M=X，正數的補數等於其本身。

　　　　當X＜0，[X]_補=(M+X)mod M=M-|X|，負數的補數等於模與該數絕對值之差。

　　　　【例子】　(5-2)mod 10=(5+8)mod 10=3，所以當模為10時，-2的補數為8。

　　①補碼與原碼、反碼的關系

　　　　當X ≥ 0，[X]_補=[X]_反=[X]_原

　　　　當X＜0，[X]_補=[X]_反+1，[[X]_補]_補=[X]_原

　　　　【例子】機器字長為8，求+37和-37的原碼、反碼、補碼

　　　　　　　　[+37]_原=[+37]_反=[+37]_補=00100101

　　　　　　　　[-37]_原=10100101

　　　　　　　　[-37]_反=11011010

　　　　　　　　[-37]_反=11011011

　　②補碼中0的表示是唯一的

　　　　[+0]_補=00000000　　[-0]_補=00000000

　　③補碼的表數范圍比原碼大

五、移碼

　　移碼也稱為增碼、余碼，主要用於表示浮點數的階碼，因此一般表示整數。

　　　　純整數移碼：[X]_移=2ⁿ+X　　-2ⁿ≤X＜2ⁿ

　　　　純小數移碼：[X]_移=1+X　　-1≤X＜1

　　①移碼與補碼的關系：整數補碼的數值部分不變，符號取反即得整數移碼。反之亦然。

　　　　當X≥0，[X]_移=[X]_補+2ⁿ

　　　　當X<0，[X]_移=[X]_補-2ⁿ

　　　　【例1】

　　　　　　[+1101010]_補 = 01101010

　　　　　　[+1101010]_移 = 11101010

　　　　　　[-1101010]_補 = 10010110

　　　　　　[-1101010]_移 = 00010110

 　　　　【例2】在字長為8位的機器中，[X]_移=2⁷+X

　　　　　　若X=+1100101 ，則[X]_移=2⁷+1100101=10000000+1100101=11100101

　　　　　　若X=-1100101 ，則[X]_移=2⁷+(-1100101)=10000000-1100101=00011011

　　　　【例3】求+12和-3的8位移127碼的二進制編碼形式

　　　　　　(+12)₁₀=1100，[+12]_移127碼=127+12=(139)₁₀=(1111111+1100)₂=(10001011)₂

　　　　　　(-3)₁₀=-11，[-3]_移127碼=127-3=(124)₁₀=(1111111-11)₂=(01111100)₂

　　②移碼中0的表示是唯一的

　　　　純整數：[+0]_移=[-0]_移=10000000

　　③移碼的表數范圍與補碼一致