復數、復數列和級數、拓撲性質

復變函數

復數, 復數序列和級數

復數相等：\(z_{1}=x_{1}+iy_{1}=z_{2}=x_{2}+iy_{2}, z_{1}=z_{2}\Longleftrightarrow x_{1}=x_{2}, y_{1}=y_{2}.\)
共軛：\(z=x+iy, \bar{z}=x-iy\).
模或長度：\(|z|=\sqrt{x^2+y^2}.\)
加法：\(z_{1}+z_{2}=(x_{1}+x_{2})+i(y_{1}+y_{2}).\)
乘法：\(z_{1}\cdot z_{2}=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}).\)
歸納定義：\(z^n=z\cdot z^{n-1}.\)
\(z\neq0\)時, 定義\(z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}.\) 相應地歸納, \(z^{-n}=z^{-1}\cdot z^{-(n-1)}\).
減法和除法：可視作逆運算.
運算規律：交換律, 結合律, 分配律.
復數性質：
(1) \(\bar{\bar{z}}=z, \bar{z_{1}+z_{2}}=\bar{z_{1}}+\bar{z_{2}}.\)
(2) \(\bar{z_{1}z_{2}}=\bar{z_{1}}\bar{z_{2}}, \bar{\frac{z_{1}}{z_{2}}}=\frac{\bar{z_{1}}}{\bar{z_{2}}}. (z_{2}\neq 0).\)
(3) \(|z|^2=z\bar{z}, Re z=\frac{z+\bar{z}}{2}, Im z=\frac{z-\bar{z}}{2}.\)
復數不等式:
(1) \(|x|=|Re z|\leq |z|; |y|=|Im z|\leq |z|.\)
(2) \(|z|\leq |Re z|+|Im z|.\)
(3) 三角不等式. \(|z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|\), 推廣到：\(|z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}|\leq |z_{1}|+\cdots +|z_{n}|.\)
(4) \(\big||z_{1}|-|z_{2}|\big|\leq |z_{1}-z_{2}|\).
(5) \(|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|, |\bar{z}|=|z|, |\frac{z_{1}}{z_{2}}|=\frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}.\)
在全體復數集上引進上述代數結構后, 成為復數域, 記作\(\mathbb{C}\), 可看作由實數域\(\mathbb{R}\)添加一個虛數單位擴張得到.
從一維歐氏空間擴充到二維歐氏平面, 在\(\mathbb{R}^2=\{(x,y):x,y\in \mathbb{R}\}\)中引入乘法運算: \((x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}).\) 使得平面\(\mathbb{R}^2\)上的點與全體復數間一一對應. 復數和平面上的點不加區別, 這樣表示復數\(x+iy\)的平面稱為復平面, 仍然用\(\mathbb{C}\)表示.
映射：\(\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{R}^2, ~~~~~~ x+iy\mapsto (x,y)\). 從而可以用平面的術語描述復平面.
復數用\(\mathbb{C}\)上的自由向量來表示, \(|z_{1}-z_{2}|\)表示兩點之間的距離, \(\sqrt{(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2}\).
輻角：實軸正向與非零向量\(z=x+iy\)之間的夾角稱為\(z\)的輻角.
輻角正負：由正實軸按逆時針方向轉到\(\overrightarrow{OP}\)為正, 順時針為負.
輻角全體記作\(Arg z(z\neq 0)\). 輻角有無窮多個, 其中任意兩個相差\(2\pi\)的整數倍, 其中有且只有一個輻角\(\theta\)滿足\(-\pi<\theta\leq \pi\), 記作\(\arg z\), 稱之為\(z\)的主輻角, 或\(Arg z\)的主值. 故

\[Arg z=\{arg z+2k\pi:k\in \mathbb{Z}\}. \]

注：有時也用\(\arg z\)表示\(Arg z\)中任一確定的值, 聯系上下文.
\(z=0\)時, \(Arg z\)無意義.
給定任一復數\(z\neq0\), 模\(|z|\), 輻角\(\theta\), 則其實部\(Re z=|z|\cos \theta, Im z=|z|\sin \theta\).
\(z=|z|\cos \theta+i|z|\sin \theta\), 稱為復數\(z\)的三角表示式.
如何求得輻角主值？可有下公式

\[ \arg(z)=\left\{ \begin{aligned} \arctan \frac{y}{x},~~~&x>0, y\in\mathbb{R}\\ \pi+\arctan \frac{y}{x},~~~&x<0,y\geq 0\\ -\pi+\arctan \frac{y}{x},~~~&x<0,y<0\\ \pi/2, ~~~&x=0,y>0\\ -\pi/2. ~~~&x=0,y<0 \end{aligned} \right. \]

復數乘積的三角表示式及幾何意義：
設 \(z_{1}=|z_{1}|(\cos \theta_{1}+i\sin\theta_{1})\neq 0, z_{2}=|z_{2}|(\cos \theta_{2}+i\sin\theta_{2})\neq 0\).
\(z_{1}z_{2}=|z_{1}||z_{2}|(\cos (\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\).
另一方面, \(z_{1}z_{2}=|z_{1}z_{2}|\big(\cos\arg(z_{1}z_{2})+i\sin\arg(z_{1}z_{2})\big)\),
則\(\arg(z_{1}z_{2})=\theta_{1}+\theta_{2}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\).
\(Arg(z_{1}z_{2})=Arg z_{1}+Arg z_{2}\), (集合意義下).
復數乘積的模是兩個模的乘積, 輻角就是這兩個復數的輻角之和(再加\(2\pi\)的整數倍).
幾何意義：\(z_{1}z_{2}\)表示的向量：把\(z_{2}\)所表示的向量沿着逆時針方向旋轉角度為\(\arg z_{1}\), 向量模再伸長\(|z_{1}|\)所得. 同理, 商的三角表示式和幾何意義：

\[\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{z_{1}\bar{z_{2}}}{|z_{2}|^2}=\frac{|z_{1}||z_{2}|}{|z_{2}|^2}[\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}-\theta_{2})]=\frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}[\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}-\theta_{2})] \]

故\(|\frac{z_{1}}{z_{2}}|=\frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}, Arg(\frac{z_{1}}{z_{2}}=Arg z_{1}-Arg z_{2}\)(集合相等).

例1.1.1. 求\(Arg(-1+i)\)與\(Arg(-7-11i)\). 方法：先求主值.

例1.1.2. 設\(z_{1},z_{2}\)是兩個復數, 求證：\(|z_{1}+z_{2}|^2=|z_{1}|^2+|z_{2}|^2+2Re (z_{1}\bar{z_{2}})\).

證明：模的平方與共軛聯系.

例1.1.3. 設\(a_{k},b_{k}, k=1,2,\cdots,n\)是復數, 證明：(C-S不等式): $$|\sum^{{n}_{k=1}a_{k}b_{k}|}2\leq \sum^{{n}_{k=1}|a_{k}|}2\cdot\sum^{{n}_{k=1}|a_{k}|}2.$$

證明：引入輔助級數\(t\), $$\forall t\in\mathbb{C}, |a_{k}-t\bar{b_{k}}|^{2=(a_{k}-t\bar{b_{k}})\overline{(a_{k}-t\bar{b_{k}})}=|a_{k}|}2+|t|^2|b_{k}|2-2Re(a_{k}\bar{t}b_{k}).$$ 對\(k\)求和,

\[0\leq\sum^{n}_{k=1}|a_{k}|^2-2Re(\bar{t}\sum^{n}_{k=1}a_{k}b_{k})+|t|^2\sum^{n}_{k=1}|b_{k}|^2. \]

\[\sum^{n}_{k=1}|b_{k}|^2=0$$時, $b_{1}=\cdots=b_{n}=0$. 成立. $$\sum^{n}_{k=1}|b_{k}|^2\neq0$$時, 令$$t=\frac{\sum^{n}_{k=1}a_{k}b_{k}}{\sum^{n}_{k=1}|b_{k}|^2}$$代入, 得 $$ 0\leq\sum^{n}_{k=1}|a_{k}|^2-2Re\big(\frac{|\sum a_{k}b_{k}|^2}{\sum |b_{k}|^2}\big)+\frac{|\sum a_{k}b_{k}|^2}{\sum|b_{k}|^2} ~~~\Rightarrow|\sum a_{k}b_{k}|^2\leq\sum|a_{k}|^2\sum|b_{k}|^2.\]

至此, 我們知道復數可有坐標表示、向量表示、三角表示, 還可以用指數表示.

定義1.1.4. 設\(z_{n}\in\mathbb{C}, n\in\mathbb{N},\alpha\in\mathbb{C}\), 若\(\forall~~~\varepsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}, s.t, n>N\) 時, 恆有\(|z_{n}-\alpha|<\varepsilon,\) 則稱復數列\(\{z_{n}\}\)收斂於\(\alpha\), 記作\(\lim\limits_{n\to\infty}z_n=\alpha\).

定義1.1.5. 設\(z_{n}=x_{n}+iy_{n}, \alpha=a+ib, a,b,x_{n},y_{n}\in\mathbb{R}, n\in\mathbb{N}\), 則$$\lim\limits_{n\to\infty}z_{n}=\alpha \Leftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=a, \lim\limits_{n\to\infty}y_{n}=b.$$

定義1.1.6. 復數的柯西列

定義1.1.7. 復數柯西列的等價定義

定義1.1.8. 對於復數列而言, 柯西列是收斂列.

定義1.1.9. 復數項的無窮級數$$\sum^{\infty}{n=0}\alpha{n}=\alpha_{0}+\alpha_{1}+\cdots+\alpha_{n}+\cdots$$相應地, 定義復級數收斂和發散性質.

復平面的拓撲

定義圓盤\(D(a,r)=\{z:|z-a|<r\}\), 進而有單位圓盤, 鄰域, 空心鄰域, 直徑記為diam \(E=\sup\{|z_1-z_2|:z_1,z_2\in E\}.\) 設\(E, F\)是任意兩個集合, 之間的距離定義為: \(d(E,F)=\inf\{|z_1-z_2|:z_1\in E, z_2\in F\}.\)
內點. 如果對任意\(r>0, D(a,r)\cap E\)中有無窮個點, 那么稱點\(a\)為集合\(E\)的聚點或極限點. 如果存在\(r>0, D(a,r)\cap E=\{a\},\) 點\(a\)為集合\(E\)的邊界點. 邊界點可以屬於集合\(E\), 也可以不屬於, 如果存在\(r>0, D(a,r)\cap E=\{a\}\), 點\(a\)為邊界點但不是聚點, 稱之為\(E\)的孤立點.

定理1.2.1 （康托） 設\(F_n\subset \mathbb{C}(n\in\mathbb{N})\)為閉集列, 滿足\(F_0\supset F_1\supset\cdots\)且$$\lim\limits_{n\to\infty} diam F_n=0.$$ 這是實數域中的閉區間套定理的推廣.

緊性. 設點集\(E\subset C, \mathcal{F}\)是一個開集族, 稱\(\mathcal{F}\)是集合\(E\)的一個開覆蓋, 就是說\(E\)中每一點至少屬於\(\mathcal{F}\)中的某一開集, 稱\(E\)具有有限覆蓋性質, 是指從\(E\)的任意一個開覆蓋中必能選出有限個開集\(G_1, G_2, \cdots, G_n,\) 覆蓋\(E\), 即\(E\subset \bigcup^n_{k=1} G_k\).

定義1.2.2 具有有限覆蓋性質的集合\(E\)稱為緊集.

例如, 空集和有限集.

定理1.2.3 (Heine-Borel) 設\(E\subset\mathbb{C}\), 則\(E\)是有界閉集的充要條件是\(E\)為\(\mathbb{C}\)中的緊集.

定理1.2.4 (Bolzano-Weierstrass) 任意有界無窮點集至少有一個極限點. (或任意有界序列至少有一個收斂的子序列.)

定理1.2.5 設\(E\)是緊集, \(F\)是閉集, 且\(E\cap F=\emptyset\), 則存在\(a\in E, b\in F\), 使得\(d(E,F)=|a-b|>0\).

證明：由\(d(E,F)\)的定義，存在\(a_n\in E,b_n\in F\)使得\(|a_n-b_n|\to d(E,F), n\to\infty.\) 由於\(E\)是緊集，它是有界閉集。\(\{a_n:n\in\mathbb{N}\}\)必有收斂的子列\(\{a_{n_k}:k\in\mathbb{N}\},\) 且收斂於\(E\)中一點\(a\), \(\{b_{n_k}:k\in\mathbb{N}\}\)是有界列，必有收斂的子列\(\{b_{n_{k_j}}:j\in\mathbb{N}\},\) 且收斂於\(F\)中一點\(b\), 於是有

\[|a_{n_{k_j}}-B_{n_{k_j}}|\to d(a,b), ~~~j\to\infty. \]

所以就有\(d(E,F)=|a-b|>0.\)

例1.2.6 求證：點集\(E\)的邊界\(\partial E\)是閉集。

證明：設\(z\)為\(\partial E\)的聚點，則對任意的\(\varepsilon >0,\) 在點\(z\)的\(\varepsilon\)鄰域內存在點\(z_0\neq z,\) 使得\(z_0\in \partial E\), 於是存在\(\varepsilon'=\varepsilon-|z-z_0|>0\), 使得\(D(z_0,\varepsilon'\subset D(z,\varepsilon),\) 由於\(z_0\in \partial E\), 所以在\(D(z_0,\varepsilon')\)內存在屬於和不屬於\(E\)的點。於是在\(D(z,\varepsilon)\)內存在屬於和不屬於\(E\)的點。故\(z\in\partial E\), 所以\(\partial E\)是閉集.

例1.2.7 過\(z_1,z_2\)兩點，方向為從\(z_1\)到\(z_2\)的有向直線\(L\)的參數方程為

\[z=z_1+t(z_2-z_1) ~~~~ (-\infty<t<\infty). \]

有\((z-z_1)\overline{(z_2-z_1)}=t|z_2-z_1|^2.\)

例1.2.7 關於圓周的方程。復數形式：\(|z-z_0|^2=R^2\),或者\((z-z_0)\overline{(z-z_0)}=R^2.\) 於是以\(z_0\)為圓心，\(R\)為半徑的圓周又可以表示成

\[z\bar{z}-\bar{z_0}z-z_0\bar{z}+|z_0|^2-R^2=0. \]

反之，若方程表示成

\[Az\bar{z}+\bar{B}z+B\bar{z}+C=0 \]

表示一個圓，其中\(A,C\in\mathbb{R},A\neq 0,B\in\mathbb{C},|B|^2-AC>0\).
結合兩個例子可得，直線與圓周方程可統一的表示為

\[Az\bar{z}+\bar{B}z+B\bar{z}+C=0 \]

表示一個圓，其中\(A,C\in\mathbb{R},B\in\mathbb{C},|B|^2-AC>0\).
當\(A=0\)時，為直線方程。否則為圓周方程。