復數是形如 a ＋ b i的數。式中a，b 為 實數，i是一個滿足i^2 ＝－1的數，因為任何實數的平方不等於－1，所以i不是實數，而是實數以外的新的數。
在復數a＋bi中，a稱為復數的實部，b稱為復數的虛部，i稱為虛數單位。當虛部等於零時，這個復數就是實數；當虛部不等於零時，這個復數稱為虛數，虛數的實部如果等於零，則稱為純虛數。由上可知，復數集包含了實數集，因而是實數集的擴張。復數有多種表示形式，常用形式 z ＝ a ＋ b i叫做代數式。此外有下列形式。
①幾何形式。復數 z ＝ a ＋ b i 用直角坐標平面上點 Z （ a ， b ）表示。這種形式使復數的問題可以借助圖形來研究。也可反過來用復數的理論解決一些幾何問題。
②向量形式。復數 z ＝ a ＋ b i用一個以原點 O 為起點，點 Z （ a ， b ）為終點的向量 O Z 表示。這種形式使復數的加、減法運算得到恰當的幾何解釋。
③三角形式。復數 z＝ a ＋ b i化為三角形式
z ＝｜ z ｜（cos θ ＋isin θ ） 式中｜ z ｜= ，叫做復數的模（或絕對值）； θ 是以 x 軸為始邊；向量 O Z 為終邊的角，叫做復數的輻角。這種形式便於作復數的乘、除、乘方、開方運算。
④指數形式。將復數的三角形式 z ＝｜ z ｜(cos θ ＋isin θ ）中的cos θ ＋isin θ 換為 e i q ，復數就表為指數形式
z ＝｜ z ｜ e i q ， 復數的乘、除、乘方、開方可以按照冪的運算法則進行。
復數集不同於實數集的幾個特點是：開方運算永遠可行；一元 n 次復系數方程總有 n 個根（重根按重數計）；復數不能建立大小順序。
擴展資料：
根據定義，若
(a，b∈R），則
=a－bi（a,b∈R）。共軛復數所對應的點關於實軸對稱。兩個復數：x+yi與x-yi稱為共軛復數，它們的實部相等，虛部互為相反數。
在復平面上，表示兩個共軛復數的點關於X軸對稱，而這一點正是"共軛"一詞的來源----兩頭牛平行地拉一部犁，它們的肩膀上要共架一個橫梁，這橫梁就叫做"軛"。如果用z表示x+yi，那么在z字上面加個"一"就表示x-yi，或相反。
1 加法法則
復數的加法法則：設z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個復數。兩者和的實部是原來兩個復數實部的和，它的虛部是原來兩個虛部的和。兩個復數的和依然是復數。
即
2 乘法法則
復數的乘法法則：把兩個復數相乘，類似兩個多項式相乘，結果中i2= -1，把實部與虛部分別合並。兩個復數的積仍然是一個復數。
即
3 除法法則
復數除法定義：滿足
的復數
叫復數a+bi除以復數c+di的商。
運算方法：將分子和分母同時乘以分母的共軛復數，再用乘法法則運算，
即
4 開方法則
若zn=r(cosθ+isinθ），則
（k=0，1，2，3…n-1）
我們把數學分析中基本的實變初等函數推廣到復變初等函數，使得定義的各種復變初等函數，當z變為實變數x(y=0）時與相應的實變初等函數相同。
注意根據這些定義，在z為任意復變數時，
①．哪些相應的實變初等函數的性質被保留下來
②．哪些相應的實變初等函數的性質不再成立
③．出現了哪些相應的實變初等函數所沒有的新的性質。
復數運算法則有：加減法、乘除法。兩個復數的和依然是復數，它的實部是原來兩個復數實部的和，它的虛部是原來兩個虛部的和。復數的加法滿足交換律和結合律。此外，復數作為冪和對數的底數、指數、真數時，其運算規則可由歐拉公式e^iθ=cos θ+i sin θ（弧度制）推導而得。
加法法則
復數的加法按照以下規定的法則進行：設z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個復數，
則它們的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
兩個復數的和依然是復數，它的實部是原來兩個復數實部的和，它的虛部是原來兩個虛部的和。
復數的加法滿足交換律和結合律，
即對任意復數z1，z2，z3，有： z1+z2=z2+z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。
減法法則
復數的減法按照以下規定的法則進行：設z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個復數，
則它們的差是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
兩個復數的差依然是復數，它的實部是原來兩個復數實部的差，它的虛部是原來兩個虛部的差。