復數基礎知識

復數基礎知識

0：前言

此為FFT基礎知識

我們以前都學過，如果一個數要開平方的話，一定要保證被開平方的數是一個正數，但是為了擴充數域，引入復數概念。

規定\(\sqrt{-1}=i\)。

1：復數的概念

形如\(z=x+iy\)的數就是一個復數，其中\(x\)和\(y\)是任意的實數，分別稱為復數\(z\)的實部和虛部。

一般來說，復數不能比大小，但是可以說兩個復數相等。

2：復數的代數運算

加減就對應實部虛部相加就行了。

乘法和除法需要稍加注意。

乘法：

\[z_1z_2=(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i \]

除法：

\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i}=\frac{(x_1+y_1i)(x_2-y_2i)}{(x_2+y_2i)(x_2-y_2i)}=\frac{(x_1+y_1i)(x_2-y_2i)}{x_2^2+y_2^2} \]

之后對上面做乘法就行，也就是說復數的除法要將分母實化。

同樣復數滿足交換律、結合律、分配律。

3：復數的幾何表示

任意一個復數\(z=x+y_i\)都有一個與之對應的二維平面點對\((x,y)\)。

如圖所示：

其中

• \(|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}\)，表示這個向量的模或長度。
• \(\theta=arctan\frac{y}{x}\)表示向量所對應的幅角。
  • 特殊的，當\(z=0\)時，幅角不確定。
• 也可以知道\(x=rcos\theta,y=rsin\theta\)。

接着我們可以得到復數的另一種表示：

\[z=x+yi=rcos\theta+irsin\theta=r(cos\theta+isin\theta)=re^{i\theta} \]

即\(z=re^{i\theta}\).

其中\(e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta\)就是大名鼎鼎的歐拉\((Euler)\)公式。（\(e\)是自然對數）

值得注意的一點！！

我們說\(\theta\)表示復數\(z\)的幅角，但其實幅角的表示可以不唯一。

比如說我從\(\theta\)的位置正好逆時針旋轉一圈后變成\(\theta+2\pi\)，他還是在那個位置，但是他不等於\(\theta\)。

所以說幅角可以表示為\(\theta+2k\pi\)，其中\(k\)取任意整數。

既然有很多個幅角，我們可以定義一個幅角主值，也就是我們最開始的那個\(\theta\)，不去加\(2k\pi\)。

但是比如說\(\frac{\pi}{2}\)(逆時針掃)，他同樣可以用\(-\frac{3\pi}{2}\)(順時針掃)來表示。

我們規定在\(x\)軸上方的用逆時針掃的角度，\(x\)軸下方用順時針掃的角度。

仔細理解這點，后面對復數開根號需要用到。

4：復數的冪與方根

1：復數的積與商

設有兩個復數\(z_1=r_1e^{i\theta_1},z_2=r_2e^{i\theta_2}\)。

\[z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)} \]

\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}*e^{i(\theta_1-\theta_2)} \]

所以可以得到以下兩個定理：

• 兩個復數乘積的模等於他們模的乘積；兩個復數乘積的幅角等於他們幅角的和。
• 兩個復數商的模等於他們模的商；兩個復數商的幅角等於他們幅角的差。

2：復數的冪與方根

冪

首先引入一個公式：

\[(cos\theta+isin\theta)^n=cosn\theta+isinn\theta \]

這就是棣莫弗\((De\ Moivre)\)公式。

\(z^n\)就是\(n\)個\(z\)乘起來，所以有：

\[z^n=r^ne^{in\theta}=r^n(cosn\theta+isinn\theta) \]

方根（重點）

要求復數\(z\)的\(n\)次方根，實際上就是求解方程\(w^n=z\)，問\(w\)。

設

\[z=re^{i\theta},w=\rho e^{i\varphi} \]

從而得到方程

\[\rho ^n=r\\n\varphi=\theta+2k\pi \]

解得：

\[\rho=\sqrt[n]{r}\\\varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n} \]

所以：

\[w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\frac{2k\pi+\theta}{n})} \]

當\(k=0,1,2,...,n-1\)時，可以得到\(n\)個相異的根：

\[w_0=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta}{n}},w_1=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2\pi}{n}},w_2=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+4\pi}{n}},...,w_{n-1}=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2(n-1)\pi}{n}} \]

為什么只有\(n\)個呢？因為\(k\)取別的整數的話，所得到的根就和上述的\(n\)個根重復了。

由復數的幾何意義可知，最后這\(n\)個根就表示他們以原點為圓心，以\(\sqrt[n]{r}\)為半徑在一個圓上均勻分布着。

就像這樣：

這里表示有四個根，

藍線的四個頭。

來做個例題收尾吧

求\(\sqrt[4]{1+i}\)：

\[\because1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\\\therefore \sqrt[4]{1+i}=\sqrt[8]{2}e^{i\frac{\frac{\pi}{4}+2k\pi}{4}},k=0,1,2,3 \]

有：

\[w_0=\sqrt[8]{2}e^{i\frac{\pi}{16}},w_1=\sqrt[8]{2}e^{i\frac{9\pi}{16}},w_2=\sqrt[8]{2}e^{i\frac{17\pi}{16}},w_3=\sqrt[8]{2}e^{i\frac{25\pi}{16}} \]

這四個根表示以原點為圓心，以\(\sqrt[8]{2}\)為半徑的圓內接正方形的四個頂點。