該篇為《理解矩陣》（孟岩）的筆記，《理解矩陣》原文詳見此鏈接：https://blog.csdn.net/myan/article/details/647511
這些東西大部分是憑着自己的理解寫出來的，基本上不抄書，可能有錯誤的地方，希望能夠被指出。但我希望做到直覺，也就是說能把數學背后說的實質問題說出來。
線性空間
首先說說空間(space)，這個概念是現代數學的命根子之一。
一般人最熟悉的空間無疑是生活在其中的三維空間，從數學上說這是一個三維的歐幾里得空間，這個空間有四個基本的特點，其中最關鍵的是關於運動的特點：
這個空間可以容納運動，這里我們所說的運動是從一個點到另一個點的移動（變換），而不是微積分意義上的“連續”性的運動。
也就是說，容納運動是空間的本質特征。通過這個特征我們可以把關於三維空間的認識擴展到其他空間。事實上，“空間”是容納運動的一個對象集合，而變換則規定了對應空間的運動。
對於線性空間，有兩個基本的問題：
- 線性空間是一個對象集合，那么線性空間是什么樣的對象的集合？
- 線性空間中的運動（即線性變換）如何表述？
對於第一個問題，對了解一定線性代數幾何意義的人來說比較具有直覺性：
線性空間中的任何一個對象，通過選取基和坐標的辦法，都可以表達為向量的形式。
文中舉了兩個抽象線性空間的例子：
L1. 最高次項不大於n次的多項式的全體構成一個線性空間，也就是說，這個線性空間中的每一個對象是一個多項式。如果我們以\(x^0\), \(x^1\), ...,\(x^n\)為基，那么任何一個這樣的多項式都可以表達為一組n+1維向量，其中的每一個分量\(a_i\)其實就是多項式中\(x^{(i-1)}\)項的系數。值得說明的是，基的選取有多種辦法，只要所選取的那一組基線性無關就可以。這要用到后面提到的概念了，所以這里先不說，提一下而已。
L2. 閉區間[a, b]上的n階連續可微函數的全體，構成一個線性空間。也就是說，這個線性空間的每一個對象是一個連續函數。對於其中任何一個連續函數，根據魏爾斯特拉斯定理，一定可以找到最高次項不大於n的多項式函數，使之與該連續函數的差為0，也就是說，完全相等。這樣就把問題歸結為L1了。后面就不用再重復了。
如此看來，只要找到合適的基，就可以用向量表示線性空間中的任何一個向量。向量並不只是表面上的一列有序數，向量可以是任何事物，而這些大都可以通過一列數抽象的描述。文中的L1就是一個很好的例子。向量具有很多性質，直覺上，並非是向量具有這些性質，而是具有這些性質的都是向量。
對於第二個問題：
很有意思，在線性空間中，當你選定一組基之后，不僅可以用一個向量來描述空間中的任何一個對象，而且可以用矩陣來描述該空間中的任何一個運動（變換）。而使某個對象發生對應運動的方法，就是用代表那個運動的矩陣，乘以代表那個對象的向量。
簡而言之：
在線性空間中選定基之后，向量刻畫對象，矩陣刻畫對象的運動，用矩陣與向量的乘法施加運動。
由此不難看出，矩陣的本質就是運動的描述。而向量本身就是n * 1的矩陣，一個空間的對象和運動可以用相同的方式表示。線性代數中大多奇妙的性質，均與這個巧合有直接的關系。
矩陣
矩陣的定義
所謂變換，其實就是空間里從一個點（元素/對象）到另一個點（元素/對象）的躍遷。
原文中這句話之所以使用 “躍遷” 而不用 “運動” 是因為變換不是一個人們在宏觀世界上觀察到的連續的過程，而是像電子在不同能級間跳躍那樣是瞬間發生的。
當我們理解了變換的概念，矩陣就變成了：
矩陣是線性空間里的變換的描述。
最后我們可以得到矩陣完整且嚴謹的定義：
矩陣是線性空間中的線性變換的一個描述。在一個線性空間中，只要我們選定一組基，那么對於任何一個線性變換，都能夠用一個確定的矩陣來加以描述。
這句話的關鍵，在於把 ”線性變換“ 與 ”線性變換的一個描述“ 區分開。矩陣是線性變換的一個描述而非線性變換本身或者線性變換的子集。
矩陣的相似
對於一個線性變換，只要選定了一組基，就可以找到一個矩陣來描述這個線性變換，而換一組基則會得到一個不同的矩陣。所有這些矩陣都是這同一個線性變換的描述，但又都不是線性變換本身。
若矩陣A和B是同一個線性變換的不同描述，則一定可以找到一個非奇異矩陣P（非奇異是一個很直覺的描述，用嚴格定義則是可逆矩陣），使得矩陣A與B滿足這樣的關系：
不難看出，這就是相似矩陣的定義，即相似矩陣是同一個線性變換的不同描述。
矩陣作為基的描述
矩陣不僅可以作為線性變換的描述，而且可以作為一組基的描述。而作為變換的矩陣，不但可以把線性空間中的一個點給變換到另一個點去，而且也能夠把線性空間中的一個坐標系（基）表換到另一個坐標系（基）去。而且，變換點與變換坐標系，具有異曲同工的效果。線性代數里最有趣的奧妙，就蘊含在其中。理解了這些內容，線性代數里很多定理和規則會變得更加清晰、直覺。